Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，CD平分∠ACB．

（1）尺規(guī)作圖：作線段AB的垂直平分線l；
（要求：保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）記直線l與AB，CD的交點(diǎn)分別是點(diǎn)E，F．當(dāng)AC=4時，求EF的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）4．

【解析】

（1）利用尺規(guī)作出線段AB的垂直平分線即可．
（2）連接EC，想辦法證明EF=EC即可解決問題．

（1）如圖所示，直線l是所求作的線段AB的垂直平分線．

（2）解：連接EC．

∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=4，
∴AC=AB，∠A=60°，
∴AB=8，
∵EF是AB的垂直平分線，
∴AE=AB=4，∠AEF=90°，
∴AE=AC，
∴△AEC是等邊三角形，
∴∠AEC=∠ACE=60°，EC=AC=4，
∴∠FEC=∠AEF+∠AEC=150°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACF=∠ACB=45°，
∴∠ECF=∠ECA-∠FCA=15°，
∴∠EFC=180°-∠FEC-∠ECF=15°=∠ECF，
∴EF=EC=4．