【題目】類比等腰三角形的定義,我們定義:有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做等鄰邊四邊形

1)概念理解

如圖1,在四邊形ABCD中,添加一個(gè)條件使得四邊形ABCD等鄰邊四邊形.請(qǐng)寫(xiě)出你添加的一個(gè)條件.

2)問(wèn)題探究

小紅猜想:對(duì)角線互相平分的等鄰邊四邊形是菱形.她的猜想正確嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.

如圖2,小紅畫(huà)了一個(gè)Rt△ABC,其中∠ABC=90°,AB=2,BC=1,并將Rt△ABC沿∠ABC的平分線BB'方向平移得到△ABC',連結(jié)AA',BC'.小紅要是平移后的四邊形ABCA'是等鄰邊四邊形,應(yīng)平移多少距離(即線段BB'的長(zhǎng))?

3)應(yīng)用拓展

如圖3,等鄰邊四邊形”ABCD中,AB=AD,∠BAD+∠BCD==90°AC,BD為對(duì)角線,AC=AB.試探究BCCD,BD的數(shù)量關(guān)系.

【答案】1AB=BCBC=CDCD=ADAD=AB(任寫(xiě)一個(gè)即可);

2正確,理由見(jiàn)解析②2;

3BC2+CD2=2BD2,理由見(jiàn)解析

【解析】

試題(1)由等鄰邊四邊形的定義易得出結(jié)論;

2先利用平行四邊形的判定定理得平行四邊形,再利用等鄰邊四邊形定義得鄰邊相等,得出結(jié)論;

由平移的性質(zhì)易得BB′=AA′A′B′∥AB,A′B′=AB=2B′C′=BC=1,A′C′=AC=,再利用等鄰邊四邊形定義分類討論,由勾股定理得出結(jié)論;

3)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△ABF≌△ADC,由全等性質(zhì)得∠ABF=∠ADC∠BAF=∠DAC,AF=AC,FB=CD,利用相似三角形判定得△ACF∽△ABD,由相似的性質(zhì)和四邊形內(nèi)角和得∠CBF=90°,利用勾股定理,等量代換得出結(jié)論.

試題解析:(1AB=BCBC=CDCD=ADAD=AB(任寫(xiě)一個(gè)即可);

2正確,理由為:

四邊形的對(duì)角線互相平分,這個(gè)四邊形是平行四邊形,

四邊形是等鄰邊四邊形,這個(gè)四邊形有一組鄰邊相等,

這個(gè)等鄰邊四邊形是菱形;

②∵∠ABC=90°,AB=2BC=1,

∴AC=,

Rt△ABC平移得到△A′B′C′,

∴BB′=AA′A′B′∥AB,A′B′=AB=2,B′C′=BC=1,A′C′=AC=,

I) 如圖1,當(dāng)AA′=AB時(shí),BB′=AA′=AB=2

II) 如圖2,當(dāng)AA′=A′C′時(shí),BB′=AA′=A′C′=;

III)當(dāng)A′C′=BC′=時(shí),

如圖3,延長(zhǎng)C′B′AB于點(diǎn)D,則C′B′⊥AB

∵BB′平分∠ABC,

∴∠ABB′=∠ABC=45°,

∴∠BB′D=′∠ABB′=45°

∴B′D=B,

設(shè)B′D=BD=x

C′D=x+1,BB′=x,

Rt△BC′D中,BD2+C′D2=BC′2

∴x2+x+12=2,

解得:x1=1,x2=﹣2(不合題意,舍去),

∴BB′=x=

)當(dāng)BC′=AB=2時(shí),如圖4,與()方法一同理可得:BD2+C′D2=BC′2,

設(shè)B′D=BD=x,

x2+x+12=22,

解得:x1=,x2=(不合題意,舍去),

∴BB′=x=

3BC,CD,BD的數(shù)量關(guān)系為:BC2+CD2=2BD2,如圖5,

∵AB=AD

△ADC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△ABF,連接CF,

∴△ABF≌△ADC,

∴∠ABF=∠ADC,∠BAF=∠DAC,AF=ACFB=CD,

∴∠BAD=∠CAF=1,

∴△ACF∽△ABD,

=,∴CF=BD,

∵∠BAD+∠ADC+∠BCD+∠ABC=360°,

∴∠ABC+∠ADC﹣360°﹣∠BAD+∠BCD=360°﹣90°=270°,

∴∠ABC+∠ABF=270°

∴∠CBF=90°,

∴BC2+FB2=CF2=BD2=2BD2,

∴BC2+CD2=2BD2

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A.177.19B.188.85C.192.0D.258.25

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