【題目】數(shù)學(xué)家高斯在上學(xué)時(shí)曾經(jīng)研究過這樣一個(gè)問題,?
經(jīng)過研究,這個(gè)問題的一般性結(jié)論是,其中為正整數(shù),現(xiàn)在我們來(lái)研究一個(gè)類似的問題:?
觀察下面三個(gè)特殊的等式:
將這三個(gè)等式的兩邊相加,可以得到.
讀完這段材料,請(qǐng)你計(jì)算:
(1)________;(直接寫出結(jié)果)
(2);(寫出計(jì)算過程)
(3)________.
【答案】(1);(2);(3)
【解析】
(1)根據(jù)三個(gè)特殊等式相加的結(jié)果,代入熟記進(jìn)行計(jì)算即可求解;
(2)先對(duì)特殊等式進(jìn)行整理,從而找出規(guī)律,然后把每一個(gè)算式都寫成兩個(gè)兩個(gè)算式的運(yùn)算形式,整理即可得解;
(3)根據(jù)(2)的求解規(guī)律,利用特殊等式的計(jì)算方法,先把每一個(gè)算式分解成兩個(gè)算式的運(yùn)算形式,整理即可得解.
解:(1)∵1×2+2×3+3×4=m×3×4×5=×4×5=20,
∴1×2+2×3+…+100×101=×100×101×102=343400;
(2)∵1×2=n(1×2×3-0×1×2)=(1×2×3-0×1×2),
2×3=x(2×3×4-1×2×3)=(2×3×4-1×2×3),
3×4=n(3×4×5-2×3×4)=(3×4×5-2×3×4),
…
n(n+1)= [n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)],
∴1×2+2×3+…+n(n+1)= [1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+3×4×5-2×3×4+…+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)],
=n(n+1)(n+2);
(3)根據(jù)(2)的計(jì)算方法,1×2×3=n(1×2×3×4-0×1×2×3)=(1×2×3×4-0×1×2×3),
2×3×4=x(2×3×4×5-1×2×3×4)=(2×3×4×5-1×2×3×4),
…
n(n+1)(n+2)= [n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2)],
∴1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)=(1×2×3×4-0×1×2×3+2×3×4×5-1×2×3×4+…+n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2)],
=n(n+1)(n+2)(n+3).
故答案為:(1)343400;(2)n(n+1)(n+2);(3)n(n+1)(n+2)(n+3).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖是一個(gè)“有理數(shù)轉(zhuǎn)換器”(箭頭是指有理數(shù)進(jìn)入轉(zhuǎn)換器后的路徑,方框是對(duì)進(jìn)入的數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換的轉(zhuǎn)換器)
當(dāng)小明輸入;;這三個(gè)數(shù)時(shí),這三次輸入的結(jié)果分別是多少?
你認(rèn)為當(dāng)輸入什么數(shù)時(shí),其輸出的結(jié)果是?
你認(rèn)為這的“有理數(shù)轉(zhuǎn)換器”不可能輸出什么數(shù)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:如圖,平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別相交于點(diǎn)E、F.
求證:四邊形AFCE是菱形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ACD和△BCE中,AC=BC,AD=BE,CD=CE,∠ACE=55°,∠BCD=155°,AD與BE相交于點(diǎn)P,則∠BPD的度數(shù)為 __________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,將兩個(gè)完全相同的三角形紙片ABC和A′B′C重合放置,其中∠C=90°,∠B=∠B′=30°,AC=AC′=2.
(1)如圖2,固定△ABC,將△A′B′C繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn),當(dāng)點(diǎn)A′恰好落在AB邊上時(shí),
①∠CA′B′=;旋轉(zhuǎn)角ɑ=(0°<ɑ<90°),線段A′B′與AC的位置關(guān)系是;
(2)②設(shè)△A′BC的面積為S1 , △AB′C的面積為S2 , 則S1與S2的數(shù)量關(guān)系是什么?證明你的結(jié)論;
(3)如圖3,∠MON=60°,OP平分∠MON,OP=PN=4,PQ∥MO交ON于點(diǎn)Q.若在射線OM上存在點(diǎn)F,使S△PNF=S△OPQ , 請(qǐng)直接寫出相應(yīng)的OF的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在等邊三角形ABC中,AB=5,在AB邊上有一點(diǎn)P,過點(diǎn)P作PM⊥BC,垂足為M,過點(diǎn)M作MN⊥AC,垂足為N,過點(diǎn)N作NQ⊥AB,垂足為Q.當(dāng)PQ=1時(shí),BP=_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】將正整數(shù)從1開始,按如圖所表示的規(guī)律排列.規(guī)定圖中第m行、第n列的位置
記作(m,n),如正整數(shù)8的位置是(2,3),則正整數(shù)139的位置記作_______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD為平行四邊形,AD=a,BE∥AC,DE交AC的延長(zhǎng)線于F點(diǎn),交BE于E點(diǎn).
(1)求證:DF=FE;
(2)若AC=2CF,∠ADC=60°,AC⊥DC,求BE的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】計(jì)算
(1)(﹣9.8)﹣(+6);
(2)4.7﹣(﹣8.9)﹣7.5+(﹣6);
(3)1﹣3+5﹣7+9﹣11+…+97﹣99
(4)1.75+(﹣6)+3+(﹣1)+(+2).
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