【題目】問題情境:如圖1,在等邊△ABC中,點(diǎn)P在△ABC內(nèi),且PA=3,PB=5,PC=4,求∠APC的度數(shù)?
小明在解決這個(gè)問題時(shí),想到了以下思路:如圖2,把△APC繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn),使點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)B,得到△ADB,連結(jié)DP.
請你在小明的思路提示下,求出∠APC的度數(shù).
思路應(yīng)用:如圖3,△ABC為等邊三角形,點(diǎn)P在△ABC外,且PA=6,PC=8,∠APC=30°,求PB的長;
思路拓展:如圖4,矩形ABCD中,AB=BC,P為矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn),PA:PB:PC=2:1:2,則∠APB= °.(直接填空)
【答案】見解析.
【解析】試題分析:問題情境,如圖2中,只要證明△ADP為等邊三角形,∠BDP=90°;
思路應(yīng)用,如圖,把△APC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn),使點(diǎn)C與點(diǎn)B重合,得到△ADB,連接PD,只要證明△DAP是等邊三角形,∠PDB=90°,即可解決問題;
思路拓展,如圖4中,連接AC.作點(diǎn)P關(guān)于AB的對稱點(diǎn)P1,點(diǎn)P關(guān)于BC的對稱點(diǎn)P3,點(diǎn)P關(guān)于AC的對稱點(diǎn)P2,連接AP1、P1B、P2A、P2C、P3B、P3C.只要證明△P1AP2是等邊三角形,∠p2p1p3=90°,即可解決問題.
試題解析:問題情境,解:如圖2中,
由旋轉(zhuǎn)不變性可知,AD=AP=3,BD=PC=4,∠DAB=∠PAC,
∴∠DAP=∠BAC=60°,∴△ADP為等邊三角形,
∴DP=PA=3,∠ADP=60°.
在△BDP中,DP=3,BD=4,PB=5,
∵32+42=52,∴∠BDP=90°,
∴∠ADB=∠ADP+∠BDP=60°+90°=150°,
∴∠APC=150°.
思路應(yīng)用,解:如圖,把△APC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn),使點(diǎn)C與點(diǎn)B重合,得到△ADB,連接PD,
如圖3中,∴△APC≌△ADB,
∴∠DAP=60°,AD=AP=6,DB=PC=8,∠PAC=∠DAB,∠ADB=∠APC=30°.
∴△DAP是等邊三角形,
∴PD=6,∠ADP=60°,∴∠PDB=90°,∴PB2=PD2+DB2=62+82=100.
∴PB=10.
思路拓展,解:如圖4中,連接AC.作點(diǎn)P關(guān)于AB的對稱點(diǎn)P1,點(diǎn)P關(guān)于BC的對稱點(diǎn)P3,點(diǎn)P關(guān)于AC的對稱點(diǎn)P2,連接AP1、P1B、P2A、P2C、P3B、P3C.
∵∠ABC=90°AB=BC,∴tan∠BAC=,
∴∠BAC=30°,∠ACB=60°,根據(jù)對稱性易知∠P1AP2=60°,P1A=P2A,∴△P1AP2是等邊三角形,
∴∠AP1P2=60°,P1P2=PA=2,
根據(jù)對稱性易知P1、B、P3共線,P1P3=2,△CP2P2的頂角為120°的等腰三角形,可得P2P3=2,
∴P1P22+p1p32=p2p32,∴∠p2p1p3=90°,∴∠APB=∠AP1B=90°+60°=150°.故答案為150.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,任意兩點(diǎn)A(, ),B(, ),規(guī)定運(yùn)算:①A⊕B=(, );②AB=;③當(dāng)且時(shí),A=B,有下列四個(gè)命題:(1)若A(1,2),B(2,﹣1),則A⊕B=(3,1),AB=0;
(2)若A⊕B=B⊕C,則A=C;
(3)若AB=BC,則A=C;
(4)對任意點(diǎn)A、B、C,均有(A⊕B)⊕C=A⊕(B⊕C)成立,其中正確命題的個(gè)數(shù)為( )
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
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【題目】如圖,點(diǎn)E、F分別是平行四邊形ABCD的邊BC、AD上的點(diǎn),且BE=DF.
(1)求證:四邊形AECF為平行四邊形;
(2)若AE=BE,∠BAC=90°,判斷四邊形AECF的形狀并證明.
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【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,BC=CD=8,過點(diǎn)B作EB⊥AB,交CD于點(diǎn)E.若DE=6,則AD的長為( )
A.6 B.8 C.9 D.10
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【題目】某市區(qū)自2014年1月起,居民生活用水開始實(shí)行階梯式計(jì)量水價(jià),該階梯式計(jì)量水價(jià)分為三級(如下表所示):
月用水量(噸) | 水價(jià)(元/噸) |
第一級 20噸以下(含20噸) | 1.6 |
第二級 20噸﹣30噸(含30噸) | 2.4 |
第三級 30噸以上 | 3.2 |
例:某用戶的月用水量為32噸,按三級計(jì)量應(yīng)繳水費(fèi)為:
1.6×20+2.4×10+3.2×2=62.4(元)
(1)如果甲用戶的月用水量為12噸,則甲需繳的水費(fèi)為 元;
(2)如果乙用戶繳的水費(fèi)為39.2元,則乙月用水量 噸;
(3)如果丙用戶的月用水量為a噸,則丙用戶該月應(yīng)繳水費(fèi)多少元?(用含a的代數(shù)式表示,并化簡)
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