Question

已知如圖，點(diǎn)D是△ABC邊BC上一點(diǎn)，且BD：DC=2：3，過(guò)點(diǎn)C任作一條直線與AB、AD分別交于點(diǎn)F和E，求證：

AE

ED

=

5AF

3BF

．

Answer 1

考點(diǎn)：平行線分線段成比例

專題：證明題

分析：過(guò)D點(diǎn)分別作DG∥AB，DH∥FC，由DG∥AB，根據(jù)平行線分線段成比例定理，得出比例式：

DG

BF

=

DC

BC

，由已知

BD

CD

=

2

3

，可得FH=

3

5

BF；由DH∥FC，根據(jù)平行線分線段成比例定理，得出比例式：

AE

ED

=

AF

DG

．進(jìn)而得出答案．

解答：證明：過(guò)D點(diǎn)分別作DG∥AB，DH∥FC，
得到四邊形DGFH是平行四邊形，
∴DG=HF，
∵DG∥BF，
∴

DG

BF

=

DC

BC

，（平行于三角形一邊的直線截其他兩邊，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例）
∵

BD

CD

=

2

3

，
∴

CD

BC

=

3

5

，
∴

DG

BF

=

3

5

，
設(shè)DG=3a，則FH=DG=3a，BF=5a，BH=2a，
∴FH=

3

5

BF，
∵DG∥AF，
∴

AE

ED

=

AF

DG

（如果一條直線截三角形的兩邊的延長(zhǎng)線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例），
∵DG=FH，
∴

AE

ED

=

AF

FH

，
∵FH=

3

5

BF，
∴

AE

ED

=

AF

3 5 BF

=

5AF

3BF

，
即

AE

ED

=

5AF

3BF

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例；平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例；如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊．