Question

如圖，△ABC中，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，在線段AB上截取AE=AC，過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC交AD于點(diǎn)F．
（1）試判斷四邊形CDEF是何種特殊的四邊形；
（2）當(dāng)AB＞AC，∠ABC=20°時(shí)，四邊形CDEF能是正方形嗎？如果能，求出此時(shí)∠BAC的度數(shù)；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）若題目改為“AD平分∠BAC的外角交直線BC于點(diǎn)D”，設(shè)∠ABC=x，其他條件不變，四邊形CDEF能是正方形嗎？如果能，求出此時(shí)∠BAC關(guān)于x的關(guān)系；如果不能，試說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的判定,菱形的判定

專題：

分析：（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠BAD=∠CAD，然后利用“邊角邊”證明△ADE和△ADC全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CD=DE，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠ADC=∠ADE，同理可得△AEF和△ACF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得EF=CF，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠ADC=∠EFD，然后求出∠EFD=∠ADE，根據(jù)等角對(duì)等邊可DE=EF，然后求出CD=DE=EF=CF，最后利用四條邊都相等的四邊形是菱形證明；
（2）根據(jù)正方形的對(duì)角線平分一組對(duì)角線可得∠ADE=45°，然后利用三角形的內(nèi)角和等于180°列式求出∠BAD，再根據(jù)角平分線的定義可得∠BAC=2∠BAD；
（3）作出圖形，根據(jù)正方形的對(duì)角線平分一組對(duì)角求出∠ADB=45°，根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠EAD，再根據(jù)角平分線的定義可得∠CAE=2∠DAE，然后根據(jù)平角等于180°列式計(jì)算即可得解．

解答：解：（1）∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
在△ADE和△ADC中，

AE=AC ∠BAD=∠CAD AD=AD

，
∴△ADE≌△ADC（SAS），
∴D=DE，∠ADC=∠ADE，
同理可得，△AEF≌△ACF，
∴EF=CF，
∵EF∥BC，
∴∠ADC=∠EFD，
∴∠EFD=∠ADE，
∴DE=EF，
∴CD=DE=EF=CF，
∴四邊形CDEF是菱形；

（2）∵四邊形CDEF是正方形，
∴∠ADE=45°，
∴∠BAD=180°-20°-（90°+45°）=25°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠BAD=2×25°=50°；

（3）四邊形CDEF能是正方形，∠BAC=-2x+90°．
理由如下：∵四邊形CDEF是正方形，
∴∠ADB=45°，
∴∠EAD=∠ABC+∠ADB=x+45°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAE=2∠DAE=2（x+45°）=2x+90°，
∴∠BAC=180°-∠CAE=180°-（2x+90°）=-2x+90°，
即∠BAC=-2x+90°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的判定與性質(zhì)，菱形的判定，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并綜合運(yùn)用是解題的關(guān)鍵，作出圖形更形象直觀．