Question

某工廠在政府的幫扶下，準(zhǔn)備轉(zhuǎn)型生產(chǎn)一種特殊機(jī)器，第一年生產(chǎn)需要投入固定成本500萬(wàn)元，生產(chǎn)與銷(xiāo)售均以百臺(tái)計(jì)數(shù)，且每生產(chǎn)100臺(tái)，還需增加可變成本1000萬(wàn)元．若市場(chǎng)對(duì)該產(chǎn)品的年需求量為500臺(tái)，每生產(chǎn)m百臺(tái)的實(shí)際銷(xiāo)售收入P（單位：萬(wàn)元）近似地滿(mǎn)足P=5000m-500m²（0≤m≤5，m為整數(shù)）．
（1）試寫(xiě)出第一年的銷(xiāo)售利潤(rùn)y（單位：萬(wàn)元）關(guān)于年生產(chǎn)量x（單位：百臺(tái)，x≤5，x為正整數(shù)）的函數(shù)關(guān)系式；（說(shuō)明：銷(xiāo)售利潤(rùn)=實(shí)際銷(xiāo)售收入-成本）
（2）因技術(shù)等原因，第一年的年生產(chǎn)量不能超過(guò)300臺(tái)，若第一年人員的年支出費(fèi)用Q（單位：萬(wàn)元）與年生產(chǎn)量x（單位：百臺(tái)）的關(guān)系滿(mǎn)足Q=500x+500（x≤3，x為正整數(shù)），求第一年年生產(chǎn)量x為多少百臺(tái)時(shí)，工廠所得純利潤(rùn)最大？（說(shuō)明：純利潤(rùn)=銷(xiāo)售利潤(rùn)-人員支出費(fèi)用）

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用

專(zhuān)題：

分析：（1）利用銷(xiāo)售利潤(rùn)=實(shí)際銷(xiāo)售收人一成本，成本=固定成本+增加成本，即可得出；
（2）利用工廠所得純利潤(rùn)=工廠銷(xiāo)售利潤(rùn)-人員的年支出費(fèi)用，及二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答：解：（1）由題意可得，y=5000x-500x²-500-1000x，
即y=-500x²+4000x-500，（x≤5，x為正整數(shù)）；

（2）設(shè)工廠所得純利潤(rùn)為h（x），則
h（x）=-500x²+4000x-500-Q
=-500x²+3500x-1000
=-500（x-

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）²+5125（x≤3，x為正整數(shù)）．
故當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)h（x）取得最大值h（3）=5000．
當(dāng)年產(chǎn)量為3百臺(tái)時(shí)，工廠所得純利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為5000萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，正確理解銷(xiāo)售利潤(rùn)=實(shí)際銷(xiāo)售收人一成本、成本=固定成本+增加成本、工廠所得純利潤(rùn)=工廠銷(xiāo)售利潤(rùn)-人員的年支出費(fèi)用、二次函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．