Question

如圖，在長方形ABCD中，AB=3，線段BC上有動點M，過M作直線MN交AB邊于點N，并使得BM=2BN．
（1）當N與A重合時，求BM的長；
（2）在直線AD上是否存在一點P，使得△PMN是等腰直角三角形？若存在，求出AP的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：矩形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)N與A重合時，BN=AB，然后代入數(shù)據(jù)進行計算即可得解；
（2）分①∠PNM=90°時，求出△APN和△BNM全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AN=BM，AP=BN，然后根據(jù)AB=3列出方程計算即可得解；②∠PMN=90°時，過點P作PE⊥BC于E，求出△PME和△MNB全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得PE=BM，BN=ME，再根據(jù)BE=BM+ME列式計算即可得解；③∠MPN=90°時，過點M作MF⊥AD于F，求出△APN和△FMP全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AP=MF．

解答：解：（1）N與A重合時，BN=AB=3，
∴BM=2BN=2×3=6；

（2）①∠PNM=90°時，如圖1，易得∠ANP=∠BMN，
在△APN和△BNM中，

∠ANP=∠BMN ∠A=∠B=90° PN=MN

，
∴△APN≌△BNM（AAS），
∴AN=BM，AP=BN，
∵BM=2BN，
∴AB=AN+BN=2BN+BN=3，
解得BN=1，
∴AP=1；
②∠PMN=90°時，如圖2，過點P作PE⊥BC于E，
易得∠BMN=∠MPE，
在△PME和△MNB中，

∠BMN=∠MPE ∠B=∠PEM=90° PM=MN

，
∴△PME≌△MNB（AAS），
∴PE=BM=3，BN=ME=

1

2

BM=

3

2

，
∴BE=BM+ME=3+

3

2

=

9

2

；
③∠MPN=90°時，如圖3，過點M作MF⊥AD于F，
易得∠APN=∠PMF，
在△APN和△FMP中，

∠APN=∠PMF ∠A=∠PFM=90° PM=PN

，
∴△APN≌△FMP（AAS），
∴AP=MF=3，
綜上所述，AP=1或

9

2

或3時，△PMN是等腰直角三角形．

點評：本題考查了矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，難點在于分情況討論，作出圖形更形象直觀．