Question

如圖，已知∠MON=90°，A是∠MON內(nèi)部的一點，過點A作AB⊥ON，垂足為點B，AB=3厘米，OB=4厘米，動點E，F(xiàn)同時從O點出發(fā)，點E以1.5厘米/秒的速度沿ON方向運動，點F以2厘米/秒的速度沿OM方向運動，EF與OA交于點C，連接AE，當(dāng)點E到達(dá)點B時，點F隨之停止運動．設(shè)運動時間為t秒（t＞0）．
（1）當(dāng)t=1秒時，△EOF與△ABO是否相似？請說明理由；
（2）在運動過程中，不論t取何值時，總有EF⊥OA．為什么？
（3）連接AF，在運動過程中，是否存在某一時刻t，使得S_△AEF=

1

2

S_{四邊形AEOF}？若存在，請求出此時t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：動點型

分析：（1）運用

OE

AB

=

OF

BO

和夾角相等，得出△EOF∽△ABO．
（2）證明Rt△EOF∽Rt△ABO，進(jìn)而證明EF⊥OA．
（3）根據(jù)S_△AEF=S_梯形ABOF-S_△FOE-S_△ABE以及S_{四邊形AEOF}=S_梯形ABOF-S_△ABE可得到S_△AEF與S_{四邊形AEOF}關(guān)于t的表達(dá)式，進(jìn)而可求出t的值．

解答：解：（1）∵t=1，
∴OE=1.5厘米，OF=2厘米，
∵AB=3厘米，OB=4厘米，
∴

OE

AB

=

1.5

3

=

1

2

，

OF

BO

=

2

4

=

1

2

∵∠MON=∠ABE=90°，
∴△EOF∽△ABO．

（2）在運動過程中，OE=1.5t，OF=2t．
∵AB=3，OB=4．
∴

OE

AB

=

OF

OB

．
又∵∠EOF=∠ABO=90°，
∴Rt△EOF∽Rt△ABO．
∴∠AOB=∠EFO．
∵∠AOB+∠FOC=90°，
∴∠EFO+∠FOC=90°，
∴EF⊥OA．

（3）如圖，連接AF，

∵OE=1.5t，OF=2t，
∴BE=4-1.5t
∴S_△FOE=

1

2

OE•OF=

1

2

×1.5t×2t=

3

2

t²，
S_△ABE=

1

2

×（4-1.5t）×3=6-

9

4

t，
S_梯形ABOF=

1

2

（2t+3）×4=4t+6，
∴S_△AEF=S_梯形ABOF-S_△FOE-S_△ABE=4t+6-

3

2

t²-（6-

9

4

t）=-

3

2

t²+

25

4

t，
S_{四邊形AEOF}=S_梯形ABOF-S_△ABE=4t+6-（6-

9

4

t）=

25

4

t，
∵S_△AEF=

1

2

S_{四邊形AEOF}
∴-

3

2

t²+

25

4

t=

1

2

×

25

4

t，（0＜t＜

8

3

）
解得t=

25

12

或t=0（舍去）．
∴當(dāng)t=

25

12

時，S_△AEF=

1

2

S_{四邊形AEOF}．

點評：本題主要考查了相似形綜合題，解題的關(guān)鍵是利用S_△AEF=

1

2

S_{四邊形AEOF}求t的值．