Question

如圖，在△ABO中，已知AB=AO，∠BAO=90°，BO=8cm，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，BO所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)及直線AB的解析式；
（2）動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)O出發(fā)沿x軸的正半軸以每秒2cm的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)E也同時(shí)從點(diǎn)O沿y軸正半軸以每秒1cm的速度運(yùn)動(dòng)，連接AD、AE、DE，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，△ADE是以AE為腰的等腰三角形？
（3）在（2）的條件下，直線AB上是否存在點(diǎn)F，使得△AEF和△ABD的面積相等？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出F點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可得A點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得AB的函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)運(yùn)動(dòng)速度乘以運(yùn)動(dòng)時(shí)間，可得E、D點(diǎn)坐標(biāo)，革命劇AE=AD，AE=ED，可得關(guān)于t的方程，根據(jù)解方程，可得t值；
（3）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離，可得E到AF的距離，根據(jù)三角形的面積相等，可得關(guān)于相等的多項(xiàng)式，根據(jù)相等的多項(xiàng)式一次項(xiàng)的系數(shù)相等，常數(shù)項(xiàng)相等，可得關(guān)于a的值，可得答案．

解答：解：（1）如圖，作AD⊥OB與D點(diǎn)，

由AB=AO，∠BAO=90°，得△AOB是等腰直角三角形．
OD=BD=AD=4（cm）．即A（4，4）．
設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b，圖象過(guò)點(diǎn)A、B，得

8k+b=0 4k+b=4

．解得

k=-1 b=8

，
直線AB的解析式是y=-x+8；
（2）由動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)O出發(fā)沿x軸的正半軸以每秒2cm的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)E也同時(shí)從點(diǎn)O沿y軸正半軸以每秒1cm的速度運(yùn)動(dòng)，
E（0，t），D（2t，0）．
當(dāng)AE=AD時(shí)，AE²=AD²，即（t-4）²+4²=（2t-4）²+4²，解得t=

8

3

，t=0（不符合題意的要舍去），
當(dāng)AE=ED時(shí)，AE²=ED²，即（t-4）²+4²=t²+（2t）²，解得t=-4（不符合題意的要舍去），t=2，
綜上所述：t=2，t=

8

3

，△ADE是以AE為腰的等腰三角形；

（3）如圖2：作EG⊥AF于G點(diǎn)，作AH⊥DB于點(diǎn)H，

設(shè)F點(diǎn)坐標(biāo)（a，8-a），E（0，t），D（2t，0）．
DB=8-2t，AF=

(a-4)2+(8-a-4)2

=（a-4）

2

．
點(diǎn)到AF的長(zhǎng)，EG=

|t-8|

2

．
由△AEF和△ABD的面積相等，得

1

2

AF•EG=

1

2

DB•AH，即

1

2

（a-4）

2

|t-8|

2

=

1

2

×4（8-2t）
當(dāng)t＜4時(shí)，

1

2

（a-4）×8-

1

2

（a-4）t=16-4t，解得a=8即F₁（8，0）；
當(dāng)4＜t＜8時(shí).

1

2

（a-4）×8-

1

2

（a-4）t=4t-16，解得a=-4即F₂（-4，12）；
當(dāng)t＞8時(shí)，-

1

2

（a-4）×8+

1

2

（a-4）t=4t-16，解得a=12，即F₃（12，-4）；
綜上所述：F₁（8，0），F(xiàn)₂（-4，12），F(xiàn)₃（12，-4）時(shí)，△AEF和△ABD的面積相等．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)綜合題，（1）利用了等腰直角三角形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，（2）利用了等腰三角形的定義，分類(lèi)討論是解題關(guān)鍵；（3）利用了三角形的面積公式，分了討論是解題關(guān)鍵．