Question

【題目】已知，拋物線(xiàn)與軸交于點(diǎn)與軸交于點(diǎn)，，且點(diǎn)的坐標(biāo)為．

（1）求該拋物線(xiàn)的解析式．

（2）如圖1，若點(diǎn)是線(xiàn)段上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交于，連接，求面積的最大值．

（3）如圖2，若直線(xiàn)與線(xiàn)段交于點(diǎn)，與線(xiàn)段交于點(diǎn)，是否存在，，使得為直角三角形，若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）3；（3）存在，或

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法求出未知系數(shù)即可；

（2）求出A，B坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)，利用相似三角形的性質(zhì)表示的面積，通過(guò)討論最值，求出最大面積.

（3）用m分別表示出M，N坐標(biāo)，分別討論O、M、N為直角三角形頂點(diǎn)時(shí)的情況，求出相應(yīng)的m值.

解：（1）把點(diǎn)，分別代入中，

得，解得∴該函數(shù)解析式為

（2）令，即，解得，

∴，

設(shè)，則

∵

∴，

∴

∴，即

化簡(jiǎn)得：

∴

∵

∴當(dāng)時(shí)，的最大值為3

（3）由題可得：，

聯(lián)立，解得，∴

聯(lián)立，解得，∴

，，

①當(dāng)時(shí)，即時(shí)

∴∴

又∵，∴

②當(dāng)時(shí)，即時(shí)

∴，∴

③當(dāng)時(shí)，即時(shí)

∴，無(wú)解

∴綜上所述：∴，∴