Question

7．已知，如圖在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD平分∠BAC，BE⊥AE于E．
（1）求證：BE=$\frac{1}{2}$AD；
（2）連結(jié)CE，求∠CED的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）分別延長AC、BE，它們交于F點，由AE平分∠CAB，AE⊥BE，得到△ABF為等腰三角形，BF=2BE；易證得△ACD≌△BCF，則根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，AD=BF，即可得到結(jié)論；
（2）先證明EF=CE，利用等邊對等角得到∠FCE=∠EFC=67.5°，再利用三角形的內(nèi)角和為180°求出∠CEF=45°，根據(jù)∠CED=90°-∠CEF即可解答..

解答 解：（1）分別延長AC、BE，它們交于F點，如圖1：

∵AE平分∠CAB，AE⊥BE，
∴△ABF為等腰三角形，BF=2BE，
∵∠ACB=∠AEB=90°，∠ADC=∠EDB，
∴∠CAD=∠CBF，
在△ACD與△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠CBF}\\{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCF}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCF（ASA），
∴AD=BF，
∴BE=$\frac{1}{2}$AD．
（2）如圖2，

∵AC=BC，∠C=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∵AE平分∠CAB，AE⊥BE，
∴△ABF為等腰三角形，BF=2BE，
∴∠F=∠ABF=（180°-45°）÷2=67.5°，
∵∠ACB=90°，BE=2BF，
∴CE=EF，
∴∠FCE=∠EFC=67.5°，
∴∠CEF=180°-∠FCE-∠EFC=180°-67.5°-67.5°=45°，
∴∠CED=90°-∠CEF=90°-45°=45°．

點評 本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)建全等三角形．