Question

如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，∠A的外角平分線交BC的延長線于D，交⊙O于E，求證：AD²=BD•CD-AB•AC．

Answer 1

考點：正弦定理與余弦定理,圓周角定理,圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：易證△CEA∽△DBA，從而得到AB•AC=AD•AE，易證△DEC∽△DBA，從而得到DE•DA=DB•DC，就可證到結(jié)論．

解答：證明：連接EC，如圖所示，
根據(jù)圓周角定理可得∠CEA=∠CBA．
∵∠3=∠2，∠1=∠2，
∴∠3=∠1，
∴∠EAC=∠BAD．
∵∠CEA=∠CBA，∠EAC=∠BAD，
∴△CEA∽△DBA，
∴

AC

AD

=

AE

AB

，
∴AB•AC=AD•AE．
∵∠D=∠D，∠CED=∠ABD，
∴△DEC∽△DBA，
∴

DE

DB

=

DC

DA

，
∴DE•DA=DB•DC，
∴AB•AC=AD•AE=AD•（DE-AD）=AD•DE-AD²，
∴AD²=AD•DE-AB•AC=BD•CD-AB•AC．

點評：本題主要考查圓周角定理、圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，而證得△CEA∽△DBA及△DEC∽△DBA是解決本題的關(guān)鍵．