Question

4．如圖，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，點P為BC邊上一動點，如果以P為圓心，BP為半徑的圓P與以AC為直徑的圓O相交，那么點P離開點B的距離BP的取值范圍是$\frac{18}{7}$＜BP＜9．

Answer 1

分析 過點A作AD⊥BC，利用等腰三角形的性質(zhì)得出CD的長，利用圓與圓的位置關(guān)系解答即可．

解答 解：①過點A作AD⊥BC，過O作OH⊥BC，如圖
∵在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，
∴CD=BD=6，
∴AD=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}=8$，
設BP=r時，兩圓相外切，則PO=r+5，PH=BC-r-CH
又易求OH=4，CH=3；
則有勾股定理（r+5）²=（9-r）²+4²，解得r=$\frac{18}{7}$

②當兩圓內(nèi)切時，過點A作AD⊥BC，過O作OH⊥BC，如圖
易知OP=r-5，PH=9-r，OH=4
同理由勾股定理求得r=9
故答案為：$\frac{18}{7}$＜BP＜9．

點評 本題考查的是兩圓的位置關(guān)系和勾股定理的應用，若P表示圓心距，R，r分別表示兩圓的半徑，兩圓外離，則P＞R+r；兩圓外切，則P=R+r；兩圓相交，則R-r＜P＜R+r；兩圓內(nèi)切，則P=R-r；兩圓內(nèi)含，則P＜R-r．