Question

如圖，AB是半圓O的直徑，點C在半圓O上，過點O作OD∥BC交圓的切線AD于點D，交弦AC于E，交半圓于點F．
（1）求證：點E為線段AC的中點；
（2）求證：∠ACO=∠ODA；
（3）若DF=2EF=

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，求AB的長．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)圓周角定理，由AB是半圓O的直徑得到∠ACB=90°，再利用平行線的性質(zhì)得∠AEO=90°，即OE⊥AC，然后根據(jù)垂徑定理即可得到AE=CE；
（2）根據(jù)切線的性質(zhì)，由AD為⊙O的切線得到∠OAD=90°，即∠OAE+∠DAE=90°，利用等角的余角相等得∠ADO=∠EAO，加上∠ACO=∠EAO，所以∠ACO=∠ODA；
（3）設(shè)⊙O的半徑為r，利用DF=2EF=

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，可表示出OE=OF-EF=r-

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，OD=OF+DF=r+

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，再證明△OEA∽△OAD，利用相似比得到r：（r-

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）=（r+

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）：r，然后解方程求出r，從而得到直徑AB的長．

解答：（1）證明：∵AB是半圓O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵OD∥BC，
∴∠AEO=90°，
∴OE⊥AC，
∴AE=CE，
即點E為線段AC的中點；
（2）證明：∵AD為⊙O的切線，
∴OA⊥AD，
∴∠OAD=90°，即∠OAE+∠DAE=90°，
而∠DAE+∠ADE=90°，
∴∠ADO=∠EAO，
∵OC=OA，
∴∠ACO=∠EAO，
∴∠ACO=∠ODA；
（3）解：設(shè)⊙O的半徑為r，
∵DF=2EF=

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，
∴OE=OF-EF=r-

3

3

，OD=OF+DF=r+

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3

，
∵∠AOE=∠DOA，
∴△OEA∽△OAD，
∴OA：OE=OF：OA，即r：（r-

3

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）=（r+

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）：r，
∴r=

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3

，
∴AB=2r=

4 3

3

．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．