Question

在平行四邊形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，垂足為E、F，△BEF的垂心為H．若DG⊥BC，垂足為G，求證：BH=GF．

Answer 1

考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：連接FH，根據(jù)已知條件證得四邊形BEDG是矩形，求得BG=ED，BG∥ED，然后證得四邊形HEDF是平行四邊形，得出HF∥ED，HF=ED，進(jìn)而得出BG∥HF，BG=HF，從而求得四邊形BHFG是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可證得結(jié)論．

解答：證明：連接FH，
∵△BEF的垂心為H．
∴FH⊥BE，
∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴AB∥CD
又∵BE⊥AD，DG⊥BC，
∴BE=DG，BE∥DG，
∴四邊形BEDG是矩形，
∴BG=ED，
∵BE⊥AD，F(xiàn)H⊥BE，
∴FH∥AD，
∵BF⊥CD，AB∥CD，
∴AB⊥BF，
∵H是△BEF的垂心，
∴EH⊥BF，
∴AB∥EH∥CD，
∴四邊形HEDF是平行四邊形，
∴HF=ED，
∴HF=BG，
∵FH∥AD，BC∥AD，
∴HF∥BC，
∴四邊形BHFG是平行四邊形，
∴BH=GF．

點(diǎn)評：本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，作出輔助線，構(gòu)建平行四邊形是本題的關(guān)鍵．