Question

若△DEF是△ABC的外角角平分線圍成的三角形．
（1）根據(jù)題意，畫(huà)出△DEF；
（2）依據(jù)（1）中的結(jié)論判斷：當(dāng)△ABC的形狀發(fā)生變化時(shí)，△DEF是銳角三角形、直角三角形還是鈍角三角形？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)題意即可畫(huà)出圖形；
（2）首先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)結(jié)合角平分線的定義，求出∠EBC、∠BCE與△ABC的三個(gè)內(nèi)角之間的關(guān)系，進(jìn)而判斷出∠E為銳角；同理可證∠D、∠F也為銳角，問(wèn)題即可解決．

解答：解：（1）圖形如下：

（2）設(shè)∠A=α，∠B=β，∠C=γ；
∵BE、CF分別是△ABC的外角平分線，∴2∠CBE=α+γ，2∠ACF=α+β；
∵∠BCE=∠ACF，∴2（∠CBE+∠BCE）=（α+β+γ）+α；
∵α+β+γ=180°，∴∠CBE+∠BCE=90°+

1

2

α，
∴∠E=180°-（90°+

1

2

α）=90°-

1

2

α，
即∠E為銳角；同理可證∠D、∠F均為銳角，
∴當(dāng)△ABC的形狀發(fā)生變化時(shí)，△DEF是銳角三角形．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理、外角的性質(zhì)及其應(yīng)用問(wèn)題；同時(shí)還滲透了對(duì)作圖能力的考查；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理來(lái)解題．