Question

（2012•湖州）如圖，將正△ABC分割成m個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正三角形和一個(gè)黑色菱形，這個(gè)黑色菱形可分割成n個(gè)邊長(zhǎng)為1的小三角形，若

m

n

=

47

25

，則△ABC的邊長(zhǎng)是

12

．

Answer 1

分析：設(shè)正△ABC的邊長(zhǎng)為x，根據(jù)等邊三角形的高為邊長(zhǎng)的

3

2

倍，求出正△ABC的面積，再根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合圖形表示出菱形的兩對(duì)角線，然后根據(jù)菱形的面積等于兩對(duì)角線乘積的一半表示出菱形的面積，然后根據(jù)所分成的小正三角形的個(gè)數(shù)的比等于面積的比列式計(jì)算即可得解．

解答：解：設(shè)正△ABC的邊長(zhǎng)為x，則高為

3

2

x，
S_△ABC=

1

2

x•

3

2

x=

3

4

x²，
∵所分成的都是正三角形，
∴結(jié)合圖形可得黑色菱形的較長(zhǎng)的對(duì)角線為

3

2

x-

3

，較短的對(duì)角線為（

3

2

x-

3

）

3

3

=

1

2

x-1，
∴黑色菱形的面積=

1

2

（

3

2

x-

3

）（

1

2

x-1）=

3

8

（x-2）²，
∴

m

n

=

3 4 x2- 3 8 (x-2)2

3 8 (x-2)2

=

47

25

，
整理得，11x²-144x+144=0，
解得x₁=

12

11

（不符合題意，舍去），x₂=12，
所以，△ABC的邊長(zhǎng)是12．
故答案為：12．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握有一個(gè)角等于60°的菱形的兩條對(duì)角線的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，本題難點(diǎn)在于根據(jù)三角形的面積與菱形的面積列出方程．