Question

【題目】如圖，已知△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，點(diǎn)O是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，OB為半徑作圓O，交AB邊于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作∠ODP＝∠B，交邊AC于點(diǎn)P，交圓O與點(diǎn)E．設(shè)OB＝x．

（1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，求PD的長(zhǎng)；

（2）設(shè)AP﹣EP＝y，求y關(guān)于x的解析式及定義域；

（3）聯(lián)結(jié)OP，當(dāng)OP⊥OD時(shí)，試判斷以點(diǎn)P為圓心，PC為半徑的圓P與圓O的位置關(guān)系．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）；（3）以點(diǎn)P為圓心，PC為半徑的圓P與圓O的位置關(guān)系是相交

【解析】

（1）根據(jù)OB=OD，AB=AC以及∠ADO=∠B+∠BOD=∠ODP+∠ADP結(jié)合題目所給∠ODP=∠B即可求出答案

（2）分點(diǎn)P與C重合，P與E重合，D與A重合三種情況討論，求出相應(yīng)的x值，再分兩個(gè)區(qū)間分別求出相應(yīng)的解析式

（3）連接OP，求出兩圓的半徑，圓心距即可判斷兩圓的位置關(guān)系

（1）如圖1中，作AH⊥BC于H，CG⊥AB于G，

∵AB＝AC＝5，AH⊥BC，

∴BH＝CH＝3，AH＝4，

∵，

∴，

∴，

如圖2中，當(dāng)點(diǎn)P與C重合時(shí)，

∵OB＝OD，

∴∠B＝∠ODB＝∠ACB，

∵∠ADO＝∠B+∠BOD＝∠CDO+∠ADP，∠ODP＝∠B，

∴∠ADP＝∠BOD＝∠BAC，

∴PA＝PD＝5；

（簡(jiǎn)單解法：易知∠A＝180°﹣2∠B，只要證明∠ADP＝180°﹣2∠B即可解決問題）

（2）如圖2中，作CG⊥AB于G，OH⊥BD于H．

∵，

∵，

∴，

∴，

如圖3中，當(dāng)P、E重合時(shí)，作EG⊥AD于G．

根據(jù)對(duì)稱性可知，B、E關(guān)于直線OD對(duì)稱，

∴，

∵，

∴，

解得，

當(dāng)點(diǎn)D與A重合時(shí)，

∴，

當(dāng)時(shí)，如圖4中，

∵，

∴，

當(dāng)時(shí)，如圖5中，作PG⊥AB于G．

∵，

∴，

∴，

綜上所述，．

（3）如圖6中，連接OP．

連接OP，作DK⊥OB，ON⊥BD、PM⊥BC于M，設(shè)ON＝4k，則易知OB＝DO＝5k．BN＝DN＝3k，

，

由△DOK∽△OPM可得，可得，

∵k，

∴以點(diǎn)P為圓心，PC為半徑的圓P與圓O的位置關(guān)系是相交．