Question

（1）如圖1所示，△ACB和△ECD都是等腰三角形，A、C、D三點(diǎn)在同一直線上，連接BD、AE，并延長AE交BD于點(diǎn)F，試判斷AE與BD的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
（2）若△ECD繞頂點(diǎn)C順時(shí)針轉(zhuǎn)任意角度后得到圖2，圖1中的結(jié)論是否任然成立？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)SAS推出△ACE≌△BCD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠CAE=∠DBC，根據(jù)∠ACB=90°求出∠CAE+∠AEC=90°，求出∠DBC+∠BEF=90°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BFE=90°即可；
（2）根據(jù)SAS推出△ACE≌△BCD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠CAE=∠DBC，根據(jù)∠ACB=90°求出∠CAE+∠AOC=90°，求出∠DBC+∠BOE=90°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BFO=90°即可．

解答：（1）AE⊥BD．
證明：在△ACE和△BCD中

AC=BC ∠ACE=∠BCD CE=CD

∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠CAE=∠DBC，
∵∠ACB=90°，
∴∠CAE+∠AEC=90°，
∵∠CAE=∠DBC，∠AEC=∠BEF，
∴∠DBC+∠BEF=90°，
∴∠BFE=180°-90°=90°，
∴AE⊥BD；

（2）解：結(jié)論還成立，
理由是：∵∠ACB=∠ECD，
∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE，
即∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中

AC=BC ∠ACE=∠BCD CE=CD

∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠CAE=∠DBC，
∵∠ACB=90°，
∴∠CAE+∠AOC=90°，
∵∠CAE=∠DBC，∠AOC=∠BOE，
∴∠DBC+∠BOE=90°，
∴∠BFO=180°-90°=90°，
∴AE⊥BD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是推出△ACE≌△BCD，注意：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．