Question

20．如圖，已知拋物線y=-x²+bx+C的圖象過點A（-3，0），C（0，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）探究：在拋物線的對稱軸DE上是否存在點P，使得點P到直線AD和到x軸的距離相等？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）探究：在對稱軸DE左側(cè)的拋物線上是否存在點F，使得2S_△FBC=3S_△EBC？若存在，求出點F的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）把A、C兩點坐標(biāo)代入可求得b、c，可求得拋物線解析式；
（2）當(dāng)點P在∠DAB的平分線上時，過P作PM⊥AD，設(shè)出P點坐標(biāo)，可表示出PM、PE，由角平分線的性質(zhì)可得到PM=PE，可求得P點坐標(biāo)；當(dāng)點P在∠DAB外角平分線上時，同理可求得P點坐標(biāo)；
（3）可先求得△FBC的面積，過F作FQ⊥x軸，交BC的延長線于Q，可求得FQ的長，可設(shè)出F點坐標(biāo)，表示出B點坐標(biāo)，從而可表示出FQ的長，可求得F點坐標(biāo)．

解答 解：
（1）∵二次函數(shù)y=-x²+bx+c經(jīng)過點A（-3，0），點C（0，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{-9-3b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式y(tǒng)=-x²-2x+3，
（2）存在，
當(dāng)P在∠DAB的平分線上時，如圖1，作PM⊥AD，

設(shè)P（-1，m），則PM=PD•sin∠ADE=$\frac{\sqrt{5}}{5}$（4-m），PE=m，
∵PM=PE，
∴$\frac{\sqrt{5}}{5}$（4-m）=m，m=$\sqrt{5}$-1，
∴P點坐標(biāo)為（-1，$\sqrt{5}$-1）；
當(dāng)P在∠DAB的外角平分線上時，如圖2，作PN⊥AD，

設(shè)P（-1，n），則PN=PD•sin∠ADE=$\frac{\sqrt{5}}{5}$（4-n），PE=-n，
∵PN=PE，
∴$\frac{\sqrt{5}}{5}$（4-n）=-n，n=-$\sqrt{5}$-1，
∴P點坐標(biāo)為（-1，-$\sqrt{5}$-1）；
綜上可知存在滿足條件的P點，其坐標(biāo)為（-1，$\sqrt{5}$-1）或（-1，-$\sqrt{5}$-1）；
（3）∵拋物線的解析式y(tǒng)=-x²-2x+3，
∴B（1，0），
∴S_△EBC=$\frac{1}{2}$•EB•OC=3，
∵2S_△FBC=3S_△EBC，
∴S_△FBC=$\frac{9}{2}$，
過F作FQ⊥x軸于點H，交BC的延長線于Q，過F作FM⊥y軸于點M，如圖3，

∵S_△FBC=S_△BQH-S_△BFH-S_△CFQ
=$\frac{1}{2}$•HB•HQ-$\frac{1}{2}$•BH•HF-$\frac{1}{2}$QF•FM
=$\frac{1}{2}$•BH（HQ-HF）-$\frac{1}{2}$•QF•FM
=$\frac{1}{2}$•BH•QF-$\frac{1}{2}$QF•FM
=$\frac{1}{2}$•QF•（BH-FM）
=$\frac{1}{2}$•FQ•OB
=$\frac{9}{2}$，
∴FQ=9，
∵BC的解析式為y=-3x+3，
設(shè)F（x₀，-x₀²-2x₀+3），
∴-3x₀+3+x₀²+2x₀-3=9，
解得：x₀=$\frac{1-\sqrt{37}}{2}$或$\frac{1+\sqrt{37}}{2}$（舍去），
∴點F的坐標(biāo)是（$\frac{1-\sqrt{37}}{2}$，$\frac{3\sqrt{37}-15}{2}$）．

點評 本題主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、角平分線的性質(zhì)、三角函數(shù)、三角形面積等知識點．在（1）中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用步驟，在（2）中注意分點P在∠DAB的角平分線上和在外角的平分線上兩種情況，在（3）中求得FQ的長是解題的關(guān)鍵．本題所考查知識點較多，綜合性很強(qiáng)，難度適中．