Question

如圖，在△ABC中，CD是AB邊上的中線，已知CD⊥AC，且tan∠BCD=

1

3

，求sinA、cosA、tanA的值．

Answer 1

考點(diǎn)：解直角三角形

專題：計(jì)算題

分析：作DE⊥CD，交BC于點(diǎn)E，在直角三角形CED中，根據(jù)tan∠BCD的值，設(shè)DE=1，表示出CD，利用內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行得到DE與AC平行，由D為AB中點(diǎn)，得到E為BC中點(diǎn)，利用三角形中位線定理得到ED等于AC的一半，求出AC的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出AD的長(zhǎng)，利用銳角三角函數(shù)定義求出sinA，cosA，以及tanA的值即可．

解答：解：作DE⊥CD，交BC于點(diǎn)E，可得∠ACD=∠CDE=90°，
∴AC∥ED，
設(shè)DE=1，
∵tan∠BCD=

1

3

，
∴CD=3，
∵D是AB中點(diǎn)，
∴E為BC的中點(diǎn)，即DE是△ABC的中位線，
∴AC=2DE=2，
∴tanA=

DA

AC

=

3

2

，
根據(jù)勾股定理可得AD=

32+22

=

13

，
∴cosA=

AC

AD

=

2 13

13

，sinA=

CD

AD

=

3 13

13

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了解直角三角形，涉及的知識(shí)有：中位線定理，平行線的判定，勾股定理，以及銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．