【題目】如圖,C為∠AOB的邊OA上一點(diǎn),OC=6,N為邊OB上異于點(diǎn)O的一動(dòng)點(diǎn),P是線段CN上一點(diǎn),過點(diǎn)P分別作PQ∥OA交OB于點(diǎn)Q,PM∥OB交OA于點(diǎn)M.

(1)若∠AOB=60°,OM=4,OQ=1,求證:CN⊥OB
(2)當(dāng)點(diǎn)N在邊OB上運(yùn)動(dòng)時(shí),四邊形OMPQ始終保持為菱形.
①問:的值是否發(fā)生變化?如果變化,求出其取值范圍;如果不變,請(qǐng)說明理由.
②設(shè)菱形OMPQ的面積為S1 , △NOC的面積為S2 , 求的取值范圍.

【答案】
(1)

解:(1)過P作PE⊥OA于E,

∵PQ∥OA,PM∥OB,

∴四邊形OMPQ為平行四邊形,

∴PM=OQ=1,∠PME=∠AOB=60°,

∴PE=PMsin60°=,ME=,

∴CE=OC﹣OM﹣ME=,

∴tan∠PCE==,

∴∠PCE=30°,

∴∠CPM=90°,

又∵PM∥OB,

∴∠CNO=∠CPM=90°,

則CN⊥OB


(2)

解:

的值不發(fā)生變化,理由如下:

設(shè)OM=x,ON=y,

∵四邊形OMPQ為菱形,

∴OQ=QP=OM=x,NQ=y﹣x,

∵PQ∥OA,

∴∠NQP=∠O,

又∵∠QNP=∠ONC,

∴△NQP∽△NOC,

=,即=,

∴6y﹣6x=xy.兩邊都除以6xy,得=,即=

②過P作PE⊥OA于E,過N作NF⊥OA于F,

則S1=OMPE,S2=OCNF,

=

∵PM∥OB,

∴∠PMC=∠O,

又∵∠PCM=∠NCO,

∴△CPM∽△CNO,

==,

==﹣(x﹣3)2+,

∵0<x<6,

則根據(jù)二次函數(shù)的圖象可知,0<


【解析】(1)過P作PE⊥OA于E,利用兩組對(duì)邊平行的四邊形為平行四邊形得到OMPQ為平行四邊形,利用平行四邊形的對(duì)邊相等,對(duì)角相等得到PM=OQ=1,∠PME=∠AOB=60°,進(jìn)而求出PE與ME的長,得到CE的長,求出tan∠PCE的值,利用特殊角的三角函數(shù)值求出∠PCE的度數(shù),得到PM于NC垂直,而PM與ON平行,即可得到CN與OB垂直;
(2)的值不發(fā)生變化,理由如下:設(shè)OM=x,ON=y,根據(jù)OMPQ為菱形,得到PM=PQ=OQ=x,QN=y﹣x,根據(jù)平行得到三角形NQP與三角形NOC相似,由相似得比例即可確定出所求式子的值;
②過P作PE⊥OA于E,過N作NF⊥OA于F,表示出菱形OMPQ的面積為S1 , △NOC的面積為S2 , 得到,由PM與OB平行,得到三角形CPM與三角形CNO相似,由相似得比例求出所求式子的范圍即可.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的相似三角形的應(yīng)用,需要了解測(cè)高:測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度,通常用“在同一時(shí)刻物高與影長成比例”的原理解決;測(cè)距:測(cè)量不能到達(dá)兩點(diǎn)間的舉例,常構(gòu)造相似三角形求解才能得出正確答案.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

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【題目】如圖,已知ABCD.

(1)判斷∠FAB與∠C的大小關(guān)系,請(qǐng)說明理由;

(2)若∠C35°,AB是∠FAD的平分線.

①求∠FAD的度數(shù);

②若∠ADB110°,求∠BDE的度數(shù).

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【題目】如圖,直線l與△ABC在邊長為1個(gè)單位長度的小正方形網(wǎng)格中,點(diǎn)A,B,C都為網(wǎng)格線的交點(diǎn).

(1)請(qǐng)畫出△ABC關(guān)于直線l對(duì)稱的△A1B1C1(點(diǎn)A,B,C的對(duì)稱點(diǎn)分別為A1,B1,C1).

(2)請(qǐng)畫出將線段AC向左平移3個(gè)單位,再向下平移5個(gè)單位得到的線段A2C2(點(diǎn)A,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A2,C2),再以A2C2為斜邊畫一個(gè)等腰直角三角形A2B2C2

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【題目】如圖,正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,點(diǎn)M,N分別是邊BC,CD上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B,C,D重合),AM,AN分別交BD于點(diǎn)E,F(xiàn),且∠MAN始終保持45°不變.

(1)求證: = ;
(2)求證:AF⊥FM;
(3)請(qǐng)?zhí)剿鳎涸凇螹AN的旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)∠BAM等于多少度時(shí),∠FMN=∠BAM?寫出你的探索結(jié)論,并加以證明.

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【題目】問題探究:
①新知學(xué)習(xí)
若把將一個(gè)平面圖形分為面積相等的兩個(gè)部分的直線叫做該平面圖形的“面線”,其“面線”被該平面圖形截得的線段叫做該平面圖形的“面徑”(例如圓的直徑就是圓的“面徑”).
②解決問題

已知等邊三角形ABC的邊長為2.
(1)如圖一,若AD⊥BC,垂足為D,試說明AD是△ABC的一條面徑,并求AD的長;
(2)如圖二,若ME∥BC,且ME是△ABC的一條面徑,求面徑ME的長;
(3)如圖三,已知D為BC的中點(diǎn),連接AD,M為AB上的一點(diǎn)(0<AM<1),E是DC上的一點(diǎn),連接ME,ME與AD交于點(diǎn)O,且SMOA=SDOE
①求證:ME是△ABC的面徑;
②連接AE,求證:MD∥AE;
(4)請(qǐng)你猜測(cè)等邊三角形ABC的面徑長l的取值范圍(直接寫出結(jié)果)

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【題目】若將一幅三角板按如圖所示的方式放置,則下列結(jié)論中不正確的是( )

A. 1=∠3 B. 如果∠230°,則有ACDE

C. 如果∠230°,則有BCAD D. 如果∠230°,必有∠4=∠C

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【題目】如圖,已知在四邊形ABCD中,AD∥BC,E為邊CB延長線上一點(diǎn),聯(lián)結(jié)DE交邊AB于點(diǎn)F,聯(lián)結(jié)AC交DE于點(diǎn)G,且 =
(1)求證:AB∥CD;
(2)如果AD2=DGDE,求證: =

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【題目】如圖,直線y=kx+6分別與x軸、y軸交于點(diǎn)E,F(xiàn),已知點(diǎn)E的坐標(biāo)為(﹣8,0),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣6,0).

(1)求k的值;

(2)若點(diǎn)P(x,y)是該直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且在第二象限內(nèi)運(yùn)動(dòng),試寫出OPA的面積S關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出自變量x的取值范圍.

(3)探究:當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),OPA的面積為,并說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】列一元一次方程解應(yīng)用題:

社會(huì)是一個(gè)重要的學(xué)校和課堂,生活是一種重要的課程和教材,實(shí)踐是一種重要的學(xué)習(xí)方式和途徑.參加社會(huì)生活和社會(huì)實(shí)踐,不僅可以學(xué)到很多在課堂上學(xué)不到的東西,也可以把課堂上學(xué)到的理論知識(shí)同社會(huì)實(shí)踐聯(lián)系起來,加深對(duì)課堂學(xué)習(xí)內(nèi)容的理解,我區(qū)某校七年級(jí)學(xué)生在農(nóng)場(chǎng)進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)時(shí),采摘了黃瓜和茄子共80千克,了解到這些蔬菜的種植成本共180元,還了解到如下信息:

(1)求采摘的黃瓜和茄子各多少千克?

(2)這些采摘的黃瓜和茄子可賺多少元?

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