【題目】如圖,一次函數(shù)y=x+2分別交y軸、x軸于A、B兩點,拋物線y=+bx+cA、B兩點.

(1)求這個拋物線的解析式;

(2)作垂直x軸的直線x=t,在第一象限交直線ABM,交這個拋物線于N.求當t取何值時,MN有最大值?最大值是多少?

(3)(2)的情況下,以A、M、N、D為頂點作平行四邊形,求第四個頂點D的坐標.

【答案】y=-+35x+2t=2時,最大值為4;(0,6),(0,-2)或(44

【解析】(1)首先求得A、B點的坐標,然后利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式;

(2)本問要點是求得線段MN的表達式,這個表達式是關(guān)于t的二次函數(shù),利用二次函數(shù)的極值求線段MN的最大值;

(3)本問要點是明確D點的可能位置有三種情形,如答圖2所示,不要遺漏.其中D1、D2在y軸上,利用線段數(shù)量關(guān)系容易求得坐標;D3點在第一象限,是直線D1N和D2M的交點,利用直線解析式求得交點坐標.

解:(1)∵分別交y軸、x軸于A、B兩點,

∴A、B點的坐標為:A(0,2),B(4,0),

將x=0,y=2代入y=﹣x2+bx+c得c=2,

將x=4,y=0代入y=﹣x2+bx+c得0=﹣16+4b+2,解得b=,

∴拋物線解析式為:y=﹣x2+x+2;

(2)如答圖1,設MN交x軸于點E,

則E(t,0),BE=4﹣t.

∵tan∠ABO==

∴ME=BEtan∠ABO=(4﹣t)×=2﹣t.

又N點在拋物線上,且xN=t,∴yN=﹣t2+t+2,

∴MN=yN﹣ME=﹣t2+t+2﹣(2﹣t)=﹣t2+4t,

∴當t=2時,MN有最大值4;

(3)由(2)可知,A(0,2),M(2,1),N(2,5).

以A、M、N、D為頂點作平行四邊形,D點的可能位置有三種情形,如答圖2所示.

(i)當D在y軸上時,設D的坐標為(0,a)

由AD=MN,得|a﹣2|=4,解得a1=6,a2=﹣2,

從而D為(0,6)或D(0,﹣2),

(ii)當D不在y軸上時,由圖可知D3為D1N與D2M的交點,

易得D1N的方程為y=x+6,D2M的方程為y=x﹣2,

由兩方程聯(lián)立解得D為(4,4)

故所求的D點坐標為(0,6),(0,﹣2)或(4,4).

“點睛”本題是二次函數(shù)綜合題,考查了拋物線上點的坐標特征、二次函數(shù)的極值、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、平行四邊形等重要知識點.難點在于第(3)問,點D的可能位置有三種情況,解答時年容易遺漏而導致失分,作為中考壓軸題此題有一定難度.

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