Question

10．如圖1，將正方形紙片ABCD對(duì)折，使AB與CD重合，折痕為EF．如圖2，展開(kāi)后再折疊一次，使點(diǎn)C與點(diǎn)E重合，折痕為GH，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)M，EM交AB于N．若AD=2，則MN=$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2a，DH=x，表示出CH，再根據(jù)翻折變換的性質(zhì)表示出DE、EH，然后利用勾股定理列出方程求出x，再根據(jù)相似三角形的判定性質(zhì)，可得NE的長(zhǎng)，根據(jù)線段的和差，可得答案．

解答 解：設(shè)DH=x，CH=2-x，
由翻折的性質(zhì)，DE=1，
EH=CH=2-x，
在Rt△DEH中，DE²+DH²=EH²，
即1²+x²=（2-x）²，
解得x=$\frac{3}{4}$，EH=2-x=$\frac{5}{4}$．
∵∠MEH=∠C=90°，
∴∠AEN+∠DEH=90°，
∵∠ANE+∠AEN=90°，
∴∠ANE=∠DEH，
又∠A=∠D，
∴△ANE∽△DEH，
$\frac{AE}{DH}$=$\frac{EN}{EH}$，即$\frac{EN}{\frac{5}{4}}$=$\frac{1}{\frac{3}{4}}$，
解得EN=$\frac{5}{3}$，
MN=ME-NE=2-$\frac{5}{3}$=$\frac{1}{3}$，
故答案為：$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了翻折變換的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)，設(shè)出DH的長(zhǎng)，然后利用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．