Question

定義：如果一個(gè)等腰直角三角形的一個(gè)頂點(diǎn)為矩形的頂點(diǎn)，另兩個(gè)頂點(diǎn)分別在矩形的邊上，且任何兩個(gè)頂點(diǎn)都不在矩形的同一邊上，我們這樣的等腰直角三角形為矩形的“內(nèi)接優(yōu)三角形”．如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊CD、BC上，∠AEF=90°，AE=EF，△AEF為矩形ABCD的內(nèi)接優(yōu)三角形．
（1）正方形是否存在內(nèi)接優(yōu)三角形？
（2）已知△AEF為矩形ABCD的內(nèi)接優(yōu)三角形．
①若AD=4，AB=7，求AF的長(zhǎng)；
②設(shè)AB=a，AD=b（a＞b），問是否存在斜邊長(zhǎng)為

6

b的內(nèi)接優(yōu)三角形？若存在，請(qǐng)求出

a

b

的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；
③若△CEF的外接圓與直線AB相切，求此時(shí)

a

b

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）直接根據(jù)正方形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）①先根據(jù)AAS定理得出△ADE≌△ECF，故可得出CF的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理即可得出AF的長(zhǎng)；
②由①得6b²=a²+（2b-a）²可設(shè)

a

b

=k，則a=bk，代入上式化簡(jiǎn)得k²-2k-1=0，求出k的值，再根據(jù)a-b＜b可知

a

b

＜2，故可得出結(jié)論；
③取EF的中點(diǎn)G，作GH⊥AB，延長(zhǎng)HG 交CD于點(diǎn)M，由三角形中位線定理得出MG=

1

2

CF，故可得出GH的長(zhǎng)，再根據(jù)△CEF的外接圓與直線AB相切可知EF=2GH，由此可得出結(jié)論．

解答：解：（1）不存在．
∵若四邊形ABCD是正方形，
∴AD≠CE，
∴不存在；

（2）①∵△AEF為矩形ABCD的內(nèi)接優(yōu)三角形
∴∠C=∠D=∠AEF=90°，AE=EF，
∴∠DEA+∠CEF=90°，∠DEA+∠DAE=90°
∴∠CEF=∠DAE
在△ADE與△ECF中，
∵

∠C=∠D ∠DAE=∠CEF AE=EF

，
∴△ADE≌△ECF
∴AD=CE=4，
∵AB=CD=7
∴DE=CF=3
∴BF=1
∴AF=

AB2+BF2

=5

2

；
②假設(shè)存在．
由①得6b²=a²+（2b-a）²
可設(shè)

a

b

=k，則a=bk，代入上式化簡(jiǎn)得 k²-2k-1=0，
解得k=1±

2

，
∵a＞b，
∴k=1+

2

，
∵a-b＜b，
∴a＜2b，
∴

a

b

＜2，所以不存在
③取EF的中點(diǎn)G，作GH⊥AB，延長(zhǎng)HG 交CD于點(diǎn)M
易得MG=

1

2

CF=

1

2

（a-b），
∴GH=b-

1

2

（a-b）=

3

2

b-

1

2

a，
∵△CEF的外接圓與直線AB相切
∴EF=2GH=3b-a，
∴（3b-a）²=b²+（a-b）²
∴

a

b

=

7

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是四邊形綜合題，熟知正方形及矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．