Question

10．如圖，AB為⊙O的直徑，BC為⊙O的切線，AC交⊙O于點E，D為AC上一點，∠AOD=∠C．
（1）求證：OD⊥AC；
（2）若AE=8，cosA=$\frac{4}{5}$，求AB的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)切線的性質(zhì)得出∠ABC=90°，進(jìn)而得出∠A+∠C=90°，再由∠AOD=∠C，可得∠AOD+∠A=90°，即可證明；
（2）由垂徑定理可得，D為AE中點，根據(jù)已知可利用銳角三角函數(shù)求出．

解答 （1）證明：∵BC是⊙O的切線，AB為⊙O的直徑
∴∠ABC=90°，
∴∠A+∠C=90°，
又∵∠AOD=∠C，
∴∠AOD+∠A=90°，
∴∠ADO=90°，
∴OD⊥AC；

（2）解：∵OD⊥AE，O為圓心，
∴D為AE中點，AE=8，
∴AD=$\frac{1}{2}$AE=4，
又cosA=$\frac{4}{5}$，
∴OA=5，
∴AB=10．

點評 此題主要考查了圓的切線性質(zhì)，及解直角三角形的知識和垂徑定理的應(yīng)用等知識，利用OD⊥AE，O為圓心，得出D為AE中點，再利用解直角三角形知識是解決問題的關(guān)鍵．