Question

解三元二次方程組

x(y+z-x)=18-2x2 y(z+x-y)=27-2y2 z(x+y-z)=36-2z2

．

Answer 1

考點：高次方程

專題：計算題

分析：先把原方程變形為

xy+xz=18-x2① yz+xy=27-y2② xz+yz=36-z2③

，再由②-①后整理得（y-x）（x+y+z）=9，③-②后整理得（z-y）（x+y+z）=9，則（y-x）（x+y+z）=（z-y）（x+y+z），易得x+y+z=0時，方程①無解，所以y-x=z-y，即x+z=2y④，然后把④代入②得y•2y=27-y²，解得y=3或-3；當(dāng)y=3時，z=6-x，
把y=3，z=6-x代入①可解得x=2，則z=4；同理當(dāng)y=-3時，x=-2，z=-4，最后寫出原方程組的解．

解答：解：方程變形為

xy+xz=18-x2① yz+xy=27-y2② xz+yz=36-z2③

，
②-①得yz-xz=9-y²+x²，
整理得（y-x）（x+y+z）=9，
③-②得xz-xy=9-z²+y²，
整理得（z-y）（x+y+z）=9，
所以（y-x）（x+y+z）=（z-y）（x+y+z），
當(dāng)x+y+z=0時，把y+z=-x代入①，方程無解，
所以y-x=z-y，即x+z=2y④，
把④代入②得y•2y=27-y²，解得y=3或-3；
當(dāng)y=3時，x+z=6，則z=6-x，
把y=3，z=6-x代入①得3x+x（6-x）=18-x²，解得x=2，
所以z=6-2=4；
當(dāng)y=-3時，x+z=-6，則z=-6-x，
把y=-3，z=-6-x代入①得-3x+x（-6-x）=18-x²，解得x=-2，
所以z=-6+2=-4，
所以原方程組的解為

x=2 y=3 z=4

或

x=-2 y=-3 z=-4

．

點評：本題考查了高次方程：通過適當(dāng)?shù)姆椒�，把高次方程化為次�?shù)較低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它轉(zhuǎn)化成二次方程或一次方程．也有的通過因式分解來解．