【題目】如圖,四邊形ABCD中,點(diǎn)E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn),順次連接E、F、G、H,得到的四邊形EFGH叫中點(diǎn)四邊形.
(1)求證:四邊形EFGH是平行四邊形;
(2)如圖,當(dāng)四邊形ABCD變成等腰梯形時(shí),它的中點(diǎn)四邊形是菱形,請(qǐng)你探究并填空:
當(dāng)四邊形ABCD變成平行四邊形時(shí),它的中點(diǎn)四邊形是 ;
當(dāng)四邊形ABCD變成矩形時(shí),它的中點(diǎn)四邊形是 ;
當(dāng)四邊形ABCD變成菱形時(shí),它的中點(diǎn)四邊形是 ;
當(dāng)四邊形ABCD變成正方形時(shí),它的中點(diǎn)四邊形是 ;
(3)根據(jù)以上觀察探究,請(qǐng)你總結(jié)中點(diǎn)四邊形的形狀由原四邊形的什么決定的?
【答案】(1)相等;(2)垂直;(3)見解析.
【解析】
(1)連接BD.利用三角形中位線定理推出所得四邊形對(duì)邊平行且相等,故為平行四邊形;
(2)連接AC、BD.根據(jù)三角形的中位線定理,可以得到所得四邊形的兩組對(duì)邊分別和原四邊形的對(duì)角線平行,且分別等于原四邊形的對(duì)角線的一半,再根據(jù)矩形、菱形、正方形的判定方法進(jìn)行判定即可
(3)由(2)可知,中點(diǎn)四邊形的形狀是由原四邊形的對(duì)角線的關(guān)系決定的.
(1)證明:連接BD.
∵E、H分別是AB、AD的中點(diǎn),
∴EH是△ABD的中位線.
∴EH=BD,EH∥BD.
同理得FG=BD,FG∥BD.
∴EH=FG,EH∥FG.
∴四邊形EFGH是平行四邊形.
(2)連接AC、BD.根據(jù)三角形的中位線定理,可以得到所得四邊形的兩組對(duì)邊分別和原四邊形的對(duì)角線平行,且分別等于原四邊形的對(duì)角線的一半.
若順次連接對(duì)角線相等的四邊形各邊中點(diǎn),則所得的四邊形的四條邊都相等,故所得四邊形為菱形;
若順次連接對(duì)角線互相垂直的四邊形各邊中點(diǎn),則所得的四邊形的四個(gè)角都是直角,故所得四邊形為矩形;
若順次連接對(duì)角線相等且互相垂直的四邊形各邊中點(diǎn),則綜合上述兩種情況,故所得的四邊形為正方形;
故答案為:平行四邊形,菱形,矩形,正方形;
(3)中點(diǎn)四邊形的形狀是由原四邊形的對(duì)角線的關(guān)系決定的.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在菱形ABCF中,∠ABC=60°,延長(zhǎng)BA至點(diǎn)D,延長(zhǎng)CB至點(diǎn)E,使BE=AD,連結(jié)CD,EA,延長(zhǎng)EA交CD于點(diǎn)G.
(1)求證:△ACE≌△CBD;
(2)求∠CGE的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,以△ABC的邊AB為直徑作⊙O,交AC邊于點(diǎn)E,BD平分∠ABE交AC于F,交⊙O于點(diǎn)D,且∠BDE=∠CBE.
(1)求證:BC是⊙O的切線;
(2)延長(zhǎng)ED交直線AB于點(diǎn)P,如圖2,若PA=AO,DE=3,DF=2,求的值及AO的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知點(diǎn)C是以AB為直徑的⊙O上一點(diǎn),CH⊥AB于點(diǎn)H,過點(diǎn)B作⊙O的切線交直線AC于點(diǎn)D,點(diǎn)E為CH的中點(diǎn),連接AE并延長(zhǎng)交BD于點(diǎn)F,直線CF交AB的延長(zhǎng)線于G.
(1)求證:AEFD=AFEC;
(2)求證:FC=FB;
(3)若FB=FE=2,求⊙O的半徑r的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將如圖1中的邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的10個(gè)小正方形,沿、剪開,后把陰影部分補(bǔ)到如圖2三角形與三角形位置中,拼成了一個(gè)大正方形,大正方形的邊長(zhǎng)設(shè)為;如圖3將直徑為1的圓放在點(diǎn)處,對(duì)應(yīng)的數(shù)位,將圓周沿?cái)?shù)軸向左邊滾動(dòng)一周到點(diǎn),對(duì)應(yīng)數(shù)為,請(qǐng)完成下面問題:
(1)求出與的值.
(2)化簡(jiǎn)求值:
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下面各問題中給出的兩個(gè)變量x,y,其中y是x的函數(shù)的是
① x是正方形的邊長(zhǎng),y是這個(gè)正方形的面積;
② x是矩形的一邊長(zhǎng),y是這個(gè)矩形的周長(zhǎng);
③ x是一個(gè)正數(shù),y是這個(gè)正數(shù)的平方根;
④ x是一個(gè)正數(shù),y是這個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根.
A. ①②③B. ①②④C. ②④D. ①④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校舉行全體學(xué)生“漢字聽寫”比賽,每位學(xué)生聽寫漢字39個(gè).隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的聽寫結(jié)果,繪制成如下的圖表.
根據(jù)以上信息完成下列問題:
(1)統(tǒng)計(jì)表中的m= ,n= ,并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(2)扇形統(tǒng)計(jì)圖中“C組”所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)是 ;
(3)已知該校共有900名學(xué)生,如果聽寫正確的字的個(gè)數(shù)少于24個(gè)定為不合格,請(qǐng)你估計(jì)該校本次聽寫比賽不合格的學(xué)生人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線y=x2+bx+c(b,c為常數(shù))的頂點(diǎn)為P,等腰直角三角形ABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,﹣1),C的坐標(biāo)為(4,3),直角頂點(diǎn)B在第四象限.
(1)如圖,若該拋物線過A,B兩點(diǎn),求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)平移(1)中的拋物線,使頂點(diǎn)P在直線AC上滑動(dòng),且與AC交于另一點(diǎn)Q.
(i)若點(diǎn)M在直線AC下方,且為平移前(1)中的拋物線上的點(diǎn),當(dāng)以M、P、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形時(shí),求出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo);
(ii)取BC的中點(diǎn)N,連接NP,BQ.試探究是否存在最大值?若存在,求出該最大值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知數(shù)軸上的點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)為6,B是數(shù)軸上的一點(diǎn),且AB=10,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以每秒6個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著數(shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(t>0).
(1)數(shù)軸上點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)是_______,點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)是_______(用t的式子表示);
(2)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B與點(diǎn)P同時(shí)出發(fā),以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著數(shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng),試問:運(yùn)動(dòng)多少時(shí)間點(diǎn)P可以追上點(diǎn)Q?
(3)M是AP的中點(diǎn),N是PB的中點(diǎn),點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中,線段MN的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化?若有變化,說明理由;若沒有變化,請(qǐng)你畫出圖形,并求出MN的長(zhǎng).
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