【題目】已知∠α的頂點在正n邊形的中心點O處,∠α繞著頂點O旋轉,角的兩邊與正n 形的兩邊分別交于點M、N,α與正n邊形重疊部分面積為S.

(1)當n=4,邊長為2,α=90°時,如圖(1),請直接寫出S的值;

(2)當n=5,α=72°時,如圖(2),請問在旋轉過程中,S是否發(fā)生變化?并說明理由;

(3)當n=6,α=120°時,如圖(3),請猜想S是原正六邊形面積的幾分之幾(不必說明理由).若∠α的平分線與BC邊交于點P,判斷四邊形OMPN的形狀,并說明理由.

【答案】(1)1;(2)不變;(3),四邊形OMPN是菱形.

【解析】

(1)如圖1,連接對角線OA、OB,證明AOMBON(ASA),則SAOM=SBON, 所以S=SABO= S正方形ABCD= ×4=1;

(2)如圖2,在旋轉過程中,∠α與正n邊形重疊部分的面積S不變,連接OA、OB,同理證明OAMOBN,則S=SOBN+SOBM=SOAM+SOBM=SOAB,故S的大小不變;

(3)如圖3,120°相當于兩個中心角,可以理解為一個中心角連續(xù)旋轉兩次,由前兩問的推理得,旋轉一個中心角時重疊部分的面積是原來正n邊形面積的 ,則S是原正六邊形面積的;也可以類比(1)(2)證明OAMOBN,利用割補法求出結論;

四邊形OMPN是菱形,

理由如下:如圖4,作∠α的平分線與BC邊交于點P,作輔助線構建全等三角形,同理證明OAMOBPOCN,得OMPOPN都是等邊三角形,則OM=PM=OP=ON=PN,根據(jù)四邊相等的四邊是菱形可得:四邊形OMPN是菱形.

(1)解:如圖1,連接OA、OB

n=4時,四邊形ABCD是正方形,

OA=OB,AOBO,

∴∠AOB=90°,

∴∠AON+BON=90°,

∵∠MON=α=90°,

∴∠AON+AOM=90°,

∴∠BON=AOM,

O是正方形ABCD的中心,

∴∠OAM=ABO=45°,

在△AOM和△BON中,

∴△AOM≌△BON(ASA),

SAOM=SBON,

SAOM+SAON=SBON+SAON,

S四邊形ANDM=SABO=S,

∵正方形ABCD的邊長為2,

S正方形ABCD=2×2=4,

S=SABO= S正方形ABCD= ×4=1;

(2)解:如圖2,在旋轉過程中,∠α與正n邊形重疊部分的面積S不變,

理由如下:連接OA、OB,

OA=OB=OC,AOB=MON=72°,

∴∠AOM=BON,且∠OAB=OBC=54°,

∴△OAM≌△OBN,

∴四邊形OMBN的面積:S=SOBN+SOBM=SOAM+SOBM=SOAB,

S的大小不變;

(3)解:猜想:S是原正六邊形面積的,理由是:

如圖3,連接OB、OD

同理得△BOM≌△DON,

S=SBOM+S四邊形OBCN=SDON+S四邊形OBCN=S四邊形OBCD= S六邊形ABCDEF;

四邊形OMPN是菱形,

理由如下:

如圖4,作∠α的平分線與BC邊交于點P,

連接OA、OB、OCOD、PMPN,

OA=OB=OC=ODAOB=BOC=COD=MOP=PON=60°,

∴∠OAM=OBP=OCN=60°,AOM=BOP=CON,

∴△OAM≌△OBP≌△OCN,

OM=OP=ON

∴△OMP和△OPN都是等邊三角形,

OM=PM=OP=ON=PN

∴四邊形OMPN是菱形.

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(2)補全條形統(tǒng)計圖;

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