【題目】已知:如圖①,在矩形ABCD中,AB=5,,AE⊥BD,垂足是E.點F是點E關(guān)于AB的對稱點,連接AF、BF.
(1)求AE和BE的長;
(2)若將△ABF沿著射線BD方向平移,設(shè)平移的距離為m(平移距離指點B沿BD方向所經(jīng)過的線段長度).當(dāng)點F分別平移到線段AB、AD上時,求出相應(yīng)的m的值;
(3)如圖②,將△ABF繞點B順時針旋轉(zhuǎn)一個角α(0°<α<180°),記旋轉(zhuǎn)中的為,在旋轉(zhuǎn)過程中,設(shè)所在的直線與直線AD交于點P,與直線BD交于點Q,若△DPQ為等腰三角形,請直接寫出此時DQ的長.
【答案】(1)4;3 (2)3或 (3)或
【解析】
(1)由矩形的性質(zhì),利用勾股定理求解的長,由等面積法求解,由勾股定理求解即可,
(2)利用對稱與平移的性質(zhì)得到:AB∥A′B′,∠4=∠1,BF=B′F′=3.當(dāng)點F′落在AB上時,證明BB′=B′F′即可得到答案,當(dāng)點F′落在AD上時,證明△B′F′D為等腰三角形,從而可得答案,
(3)分4種情況討論:①如答圖3﹣1所示,點Q落在BD延長線上,證明A′Q=A′B,利用勾股定理求解 從而求解,②如答圖3﹣2所示,點Q落在BD上,證明點A′落在BC邊上,利用勾股定理求解 從而可得答案,③如答圖3﹣3所示,點Q落在BD上,證明∠A′QB=∠A′BQ,利用勾股定理求解,從而可得答案,④如答圖3﹣4所示,點Q落在BD上,證明BQ=BA′,從而可得答案.
解:(1)在Rt△ABD中,AB=5,,
由勾股定理得:.
.
在Rt△ABE中,AB=5,AE=4,
由勾股定理得:BE=3.
(2)設(shè)平移中的三角形為△A′B′F′,如答圖2所示:
由對稱的性質(zhì)可知,∠1=∠2.
由平移性質(zhì)可知,AB∥A′B′,∠4=∠1,BF=B′F′=3.
①當(dāng)點F′落在AB上時,
∵AB∥A′B′,
∴∠3=∠4,
∴∠3=∠2,
∴BB′=B′F′=3,即m=3;
②當(dāng)點F′落在AD上時,
∵AB∥A′B′,∴∠6=∠2,
∵∠1=∠2,∠5=∠1,∴∠5=∠6,
A′B′⊥AD,
∴△B′F′D為等腰三角形,
∴B′D=B′F′=3,
,即.
(3)DQ的長度分別為或.
在旋轉(zhuǎn)過程中,等腰△DPQ依次有以下4種情形:
①如答圖3﹣1所示,點Q落在BD延長線上,且PD=DQ,
∠2=2∠Q,
∵∠1=∠3+∠Q,∠1=∠2,
∴∠3=∠Q,
∴A′Q=A′B=5,
∴F′Q=F′A′+A′Q=4+5=9.
在Rt△BF′Q中,由勾股定理得:.
;
②如答圖3﹣2所示,點Q落在BD上,且PQ=DQ,∴∠2=∠P,
∵∠1=∠2,∴∠1=∠P,∴BA′∥PD,
∵PD∥BC,∴此時點A′落在BC邊上.
∵∠3=∠2,∴∠3=∠1,
∴BQ=A′Q,∴F′Q=F′A′﹣A′Q=4﹣BQ.
在Rt△BQF′中,由勾股定理得:
即: 解得:,
;
③如答圖3﹣3所示,點Q落在BD上,且PD=DQ,
∠3=∠4.
∵∠2+∠3+∠4=180°,∠3=∠4,.
∵∠1=∠2,.
,
,
∴∠A′QB=∠A′BQ,∴A′Q=A′B=5,
∴F′Q=A′Q﹣A′F′=5﹣4=1.
在Rt△BF′Q中,由勾股定理得:,
;
④如答圖3﹣4所示,點Q落在BD上,且PQ=PD,
∠2=∠3.
∵∠1=∠2,∠3=∠4,∠2=∠3,
∴∠1=∠4,
∴BQ=BA′=5,
.
綜上所述,DQ的長度分別為或.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,點C在⊙O外,∠ABC的平分線與⊙O交于點D,∠C=90°.
(1)求證:CD是⊙O的切線;
(2)若∠CDB=60°,AB=18,求的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,∠ACB=90°,D為AB上的一點,以CD為直徑的⊙O交AC于E,連接BE交CD于P,交⊙O于F,連接DF,∠ABC=∠EFD.
(1)求證:AB與⊙O相切;
(2)若AD=4,BD=6,則⊙O的半徑= ;
(3)若PC=2PF,BF=a,求CP(用a的代數(shù)式表示).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,反比例函數(shù)y= 的圖象與一次函數(shù)y=x+b的圖象交
于點A(1,4)、點B(-4,n).
(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式;
(2)求△OAB的面積;
(3)直接寫出一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值的自變量x的取值范圍.
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【題目】在正方形ABCD中,AB=6,連接AC,BD,P是正方形邊上或?qū)蔷上一點,若PD=2AP,則AP的長為_____.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點在軸正半軸上,軸,點的橫坐標(biāo)都是,且,點在上,若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點,且.
(1)求點坐標(biāo);
(2)將沿著折疊,設(shè)頂點的對稱點為,試判斷點是否恰好落在直線上,為什么.
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【題目】在屋樓崮西側(cè)一個坡度(或坡比)的山坡上發(fā)現(xiàn)有一棵古樹.測得古樹底端到山腳點的距離米,在距山腳點水平距離米的點處,測得古樹頂端的仰角(古樹與山坡的剖面、點在同一平面上,古樹與直線垂直),則古樹的高度約為( )
A.米B.米C.米D.米
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線交x軸正半軸于點A,交y軸負(fù)半軸于點B,點C在線段OA上,將沿直線BC翻折,點A與y軸上的點D(0,4)恰好重合.
(1)求直線AB的表達式.
(2)已知點E(0,3),點P是直線BC上的一個動點(點P不與點B重合),連接PD,PE,當(dāng)PDE的周長取得最小值時,求點P的坐標(biāo)。
(3)在坐標(biāo)軸上是否存在一點H,使得HAB和ABC的面積相等?若存在,求出滿足條件的點H的坐標(biāo);若不存在,請說明理由。
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