Question

如圖，在△ABC中∠ACB=90°，D是AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的直線l∥BC，將直線AC繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角α＜∠ACB），分別交直線l于點(diǎn)F與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，連接AE、CF．
（1）求證：△CDE≌△ADF；
（2）求證：四邊形AFCE是平行四邊形；
（3）當(dāng)∠B=22.5°，AC=BC時(shí)，請(qǐng)?zhí)剿鳎菏欠翊嬖谶@樣的α能使四邊形AFCE成為正方形？請(qǐng)說(shuō)明理由；若能，求出這時(shí)的旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)和BC與CE的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠1=∠2，然后利用AAS證得兩三角形全等即可；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DE=DF，然后利用兩組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形判定即可；
（3）根據(jù)菱形的判定定理得到當(dāng)α=90°時(shí)平行四邊形AFCE是菱形，然后證得鄰邊AC=EF從而判定菱形AFCE是正方形，利用勾股定理得到勾股定理：BC=

2

CE．

解答：（1）證明：∵AF∥BC，
∴∠1=∠2，
在△AFD和△CED中

∠1=∠2 ∠3=∠4 AD=CD

，
∴△AFD≌CED（AAS）；

（2）證明：∵△AFD≌CED，
∴DE=DF，
∵AD=CD，
∴四邊形AFCE是平行四邊形；

（3）當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α=90°時(shí)，四邊形AFCE是正方形，這時(shí)BC=

2

CE，理由如下：
∵由（2）知，四邊形AFCE是平行四邊形，
∴當(dāng)α=90°時(shí)，平行四邊形AFCE是菱形，
又∵AC=BC，
∴∠BAC=∠B=22.5°，
∴∠ACE=∠BAC+∠B=22.5°+22.5°=45°，
∴△CED是等腰直角三角形，則CD=ED，
∵四邊形AFCE是平行四邊形，
∴AC=2CD，EF=2ED，
∴AC=EF，
∴菱形AFCE是正方形，
∴AE=CE，
在Rt△ACE中由勾股定理：AC=

AE2+CE2

=

2

CE，
∵AC=BC，
∴BC=

2

CE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了四邊形的綜合知識(shí)，了解特殊的平行四邊形的判定方法是解答本題的關(guān)鍵，難度中等偏上．