Question

如圖，已知E、F是矩形ABCD對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，且BE⊥AC，DF⊥AC．
（1）求證：△ABE≌△CDF；
（2）若AE：EF：FC=1：2：1，試求∠ACB的度數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：矩形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）利用矩形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)角以及對(duì)應(yīng)線段，再利用全等三角形的判定方法求出即可；
（2）利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出BE=

3

x，進(jìn)而利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出即可．

解答：（1）證明：∵E、F是矩形ABCD對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，且BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠AEB=∠DFC=90°，∠BAE=∠DCF，AB=DC，
在△ABE和△CDF中，

∠BEA=∠DFC ∠BAE=∠DCF AB=DC

，
∴△ABE≌△CDF（AAS）；

（2）解：∵∠BAE+∠ABE=90°，∠ABE+∠EBC=90°，
∴∠BAE=∠CBE，
又∵∠AEB=∠BEC，
∴△ABE∽△BCE，
∴

AE

BE

=

BE

EC

，
∵AE：EF：FC=1：2：1，
∴設(shè)AE=x，EF=2x，F(xiàn)C=x，
∴

x

BE

=

BE

3x

，
∴BE=

3

x，
∴tan∠ECB=

BE

EC

=

3 x

3x

=

3

3

，
∴∠ECB=30°即∠ACB的度數(shù)為30°．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識(shí)，表示出BE的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．