Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線(xiàn)與軸，軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B.拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)A,B兩點(diǎn)，且對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，拋物線(xiàn)與軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)C.

（1）求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）設(shè)點(diǎn)E是拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)E在直線(xiàn)AB下方.當(dāng)△ABE的面積最大時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)，及△ABE面積的最大值S；

拋物線(xiàn)上是否還存在其它點(diǎn)M,使△ABM的面積等于中的最大值S,若存在，求出滿(mǎn)足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；

（3）若點(diǎn)F為線(xiàn)段OB上一動(dòng)點(diǎn)，直接寫(xiě)出的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）E(-2,-4）,4；②存在，；（3）

【解析】

（1）求出AB兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求解；

（2）設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為，當(dāng)△ABE的面積最大時(shí)，點(diǎn)E在拋物線(xiàn)上且距AB最遠(yuǎn)，此時(shí)E所在直線(xiàn)與AB平行，且與拋物線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn).設(shè)點(diǎn)E所在直線(xiàn)為l：y=-x+b，與二次函數(shù)聯(lián)立方程組，根據(jù)只有一個(gè)交點(diǎn)，得，求出b，進(jìn)而求出點(diǎn)E坐標(biāo)；

拋物線(xiàn)上直線(xiàn)AB上方還存在其它點(diǎn)M,使△ABM的面積等于中的最大值S，此時(shí)點(diǎn)M所在直線(xiàn)與直線(xiàn)AB平行,且與直線(xiàn)l到直線(xiàn)AB距離相等，求出直線(xiàn)解析式，與二次函數(shù)聯(lián)立方程組，即可求解；

（3）如圖，作 交x軸于點(diǎn)G，作FP⊥BG，于P，得到，所以當(dāng)C、F、P在同一直線(xiàn)上時(shí)， 有最小值，作CH⊥GB于H，求出CH即可．

解：（1）在中分別令x=0，y=0，可得點(diǎn)A(-4,0)，B(0,-4)，

根據(jù)A,B坐標(biāo)及對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，可得方程組

解方程組可得

∴拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為

（2）①設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為，當(dāng)△ABE的面積最大時(shí)，

點(diǎn)E在拋物線(xiàn)上且距AB最遠(yuǎn)，此時(shí)E所在直線(xiàn)與AB平行，且與拋物線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn).設(shè)點(diǎn)E所在直線(xiàn)為l：y=-x+b.

聯(lián)立得方程，消去y

得，據(jù)題意；

解之得，直線(xiàn)l的解析式為y=-x-6,

聯(lián)立方程，解得，

∴點(diǎn)E(-2,-4），

過(guò)E作y軸的平行線(xiàn)可求得△ABE面積的最大值為4.

②拋物線(xiàn)上直線(xiàn)AB上方還存在其它點(diǎn)M,使△ABM的面積等于中的最大值S，此時(shí)點(diǎn)M所在直線(xiàn)與直線(xiàn)AB平行,且與直線(xiàn)l到直線(xiàn)AB距離相等，易得直線(xiàn)是直線(xiàn)l向上平移4個(gè)單位，

∴解析式為y=-x-2,與二次函數(shù)聯(lián)立方程組可得

方程組解之得

∴存在兩個(gè)點(diǎn)，

（3）如圖，作 交x軸于點(diǎn)G，作FP⊥BG于P，

則是直角三角形，

∴,

∴,

∴當(dāng)C、F、P在同一直線(xiàn)上時(shí)， 有最小值，

作CH⊥GB于H，

在中，∵

∴,,

∵A(-4,0)，拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，

∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（2,0），

∴,

∴ 在中， ,

∴的最小值為．