Question

【題目】如圖1，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝120°，AB＝3，點(diǎn)E、F在直線AB上，且∠ECF＝60°．

（1）求AC邊的長(zhǎng)；

（2）如圖1，點(diǎn)E、F在線段AB上時(shí)，若EF＝AF，求證：BE＝EF；

（3）如圖2，F在AB上，E在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，AF＝m，BE＝n，則n＝　 　（用含m的式子表示）．

Answer 1

【答案】（1）AC＝；（2）詳見解析；（3）．

【解析】

（1）過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，由直角三角形的性質(zhì)可得AB＝2CD，AC＝2CD，即可求AC的值；

（2）作點(diǎn)A關(guān)于直線CF的對(duì)稱點(diǎn)G，連接FG、CG、EG，由“SAS”可證△GCE≌△BCE，可得EG＝BE，∠B＝∠EGC，即可證△FEG為等邊三角形，可得結(jié)論；

（2）將△BCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△GCH，連接AG，過點(diǎn)H作DH⊥CG，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BC＝CG，BE＝GH＝n，∠BCG＝60°，∠CGH＝∠CBE＝180°﹣∠ACB＝150°，通過證明△NCF∽△DCH，可得，即可求解．

（1）如圖1，過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，

∵CA＝CB，∠ACB＝120°，

∴∠A＝∠B＝30°，AD＝BD

∴AC＝2CD，BD＝AD＝CD，

∵AB＝3，

∴AD+BD＝AB＝3＝2CD

∴CD＝

∴AC＝

（2）如圖1﹣1，作點(diǎn)A關(guān)于直線CF的對(duì)稱點(diǎn)G，連接FG、CG、EG，

∵G為點(diǎn)A關(guān)于直線CF的對(duì)稱點(diǎn)；

∴△ACF≌△GCF，

∴AC＝CG，∠ACF＝∠GCF，∠FGC＝∠A．

又∵AC＝BC，

∴CG＝CB，

∵∠ACB＝120°，∠ECF＝60°，

∴∠ECG＝60°﹣∠GCF＝60°﹣∠ACF，∠BCE＝60°﹣∠ACF，

∴∠ECG＝∠ECB，

在△GCE和△BCE中

∴△GCE≌△BCE（SAS），

∴EG＝BE，∠B＝∠EGC，

∵∠ACB＝120°，

∴∠A+∠B＝60°，

∴∠EGC+∠FGC＝60°，

又∵AF＝EF＝FG，

∴△FEG為等邊三角形，

∴EF＝EG＝BE，即BE＝EF．

（2）如圖2，將△BCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△GCH，連接AG，過點(diǎn)H作DH⊥CG，

∵將△BCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△GCH，

∴BC＝CG，BE＝GH＝n，∠BCG＝60°，∠CGH＝∠CBE＝180°﹣∠ACB＝150°

∴∠DGH＝180°﹣∠CGH＝30°，且DH⊥CG

∴DH＝GH＝，GD＝DH＝n，

∵∠ACB＝120°，∠BCG＝60°

∴∠ACG＝∠BCG＝60°，且AC＝BC

∴CG⊥AB，AN＝BN＝，CN＝

∴FN＝m﹣

∵∠CNF＝∠CDH＝90°，∠NCF＝∠DCH，

∴△NCF∽△DCH

∴

∴

∴n＝

故答案為：