Question

【題目】如圖，已知AB為半圓O的直徑，P為半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），以OP、OB為一組鄰邊作POBQ，連接OQ、AP，設(shè)OQ、AP的中點(diǎn)分別為M、N，連接PM、ON．

（1）試判斷四邊形OMPN的形狀，并說(shuō)明理由．

（2）若點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒15°的速度，繞點(diǎn)O在半圓上逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．

①試求：當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形OMPN的面積取得最大值？并判斷此時(shí)直線PQ與半圓O的位置關(guān)系（需說(shuō)明理由）；

②是否存在這樣的t，使得點(diǎn)Q落在半圓O內(nèi)？若存在，請(qǐng)直接寫出t的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）四邊形OMPN為矩形，理由見(jiàn)解析；（2）①當(dāng)t=6秒時(shí)，四邊形OMPN面積最大，此時(shí)，PQ與半圓O相切．理由見(jiàn)解析；②當(dāng)8＜t＜12時(shí)，點(diǎn)Q在半圓O內(nèi)．

【解析】

（1）先證四邊形PQOA為平行四邊形，再證四邊形OMPN為平行四邊形，根據(jù)等腰三角形三線合一，得ON⊥AP，進(jìn)而即可得到結(jié)論；

（2）①由題意得S矩形OMPN=S△AOP，從而得△AOP的AO邊上的高取得最大值，此時(shí)△AOP的面積取得最大值，進(jìn)而即可得到t的值，根據(jù)切線的判定定理，即可得到結(jié)論；②考慮兩個(gè)特殊情況：當(dāng)點(diǎn)Q在半圓O上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，分別求出t的值，進(jìn)而即可得到答案．

（1）四邊形OMPN為矩形，理由如下：

∵四邊形POBQ為平行四邊形，

∴PQ∥OB，PQ=OB．

又∵OB=OA，

∴PQ=AO．

又∵PQ∥OA，

∴四邊形PQOA為平行四邊形，

∴PA∥QO，PA=QO．

又∵M、N分別為OQ、AP的中點(diǎn)，

∴OM=OQ，PN=AP，

∴OM=PN，

∴四邊形OMPN為平行四邊形．

∵OP=OA，N是AP的中點(diǎn)，

∴ON⊥AP，即∠ONP=90°，

∴四邊形OMPN為矩形；

（2）①∵四邊形OMPN為矩形，

∴S矩形OMPN=ON·NP=ON·AP，即S矩形OMPN=S△AOP．

∵△AOP的底AO為定值，

∴當(dāng)P旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)90°（運(yùn)動(dòng)至最高點(diǎn)）時(shí)，△AOP的AO邊上的高取得最大值，此時(shí)△AOP的面積取得最大值，

∴t=90÷15=6秒，

∴當(dāng)t=6秒時(shí)，四邊形OMPN面積最大．

此時(shí)，PQ與半圓O相切．理由如下：

∵此時(shí)∠POB=90°，PQ//OB，

∴∠OPQ=90°，

∴PQ與半圓O相切；

②當(dāng)點(diǎn)Q在半圓O上時(shí)，

∵四邊形POBQ為平行四邊形，且OB=OP，

∴四邊形POBQ為菱形，

∴OB=BQ=OQ=OP=PQ，

∴∠POQ=∠BOQ=60°，即：∠BOP=120°，

∴此時(shí)，t=120°÷15°=8秒，

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，t=180°÷15°=12秒，

綜上所述：當(dāng)8＜t＜12時(shí)，點(diǎn)Q在半圓O內(nèi)．