Question

6．利用圖形面積可以解釋代數(shù)恒等式的正確性，也可以解釋不等式的正確性
（1）根據(jù)圖1寫(xiě)出一個(gè)代數(shù)恒等式；
（2）恒等式：（2a+b）（a+b）=2a²+3ab+b²，也可以用圖2面積表示，請(qǐng)用圖形面積說(shuō)明（2a+b）（a+b）=2a²+3ab+b²
（3）已知正數(shù)a、b、c和m、n、l滿足a+m=b+n=c+l=k，試構(gòu)造邊長(zhǎng)為k的正方形，利用面積來(lái)說(shuō)明al+bm+cn＜k²．

Answer 1

分析 （1）利用面積分割法，各部分用代數(shù)式表示即可；
（2）利用圖2的2種面積表示方法即可求解；
（3）利用面積分割法，可構(gòu)造正方形，使其邊長(zhǎng)等于a+m=b+n=c+l=k（注意a≠b≠c，m≠n≠l），并且正方形里有邊長(zhǎng)是a、l；b、m；c、n的長(zhǎng)方形，通過(guò)畫(huà)成的圖可發(fā)現(xiàn)，al+bm+cn＜k²．

解答 解：（1）由圖可得，4ab=（a+b）²-（a-b）²；
（2）∵圖2的面積為（2a+b）（a+b）或2a²+3ab+b²，
∴（2a+b）（a+b）=2a²+3ab+b²；，
（3）構(gòu)造一個(gè)邊長(zhǎng)為k的正方形，如圖所示：顯然a+m=b+n=c+l=k，

根據(jù)圖形可知，正方形內(nèi)部3個(gè)矩形的面積和小于正方形的面積，
故al+bm+cn＜k²．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查完全平方公式的幾何背景及公式間的相互轉(zhuǎn)化，利用幾何圖形推導(dǎo)代數(shù)恒等式，要注意幾何圖形整體面積與各部分面積的關(guān)系．