Question

9．已知拋物線y=$\frac{1}{2}{x}^{2}$+（m-2）x+2m-6的對稱軸為直線x=1，與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C．
（1）求m的值；
（2）求A，B，C三點的坐標；
（3）過點C作直線l∥x軸，將該拋物線在y軸左側(cè)的部分沿直線l翻折，拋物線的其余部分保持不變，得到一個新的圖象，記為G．請你結(jié)合圖象回答：當直線y=$\frac{1}{2}x+b$與圖象G只有一個公共點時，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意得出-m+2=1，求得m=1，
（2）分別令x=0、y=0，得到方程，解方程即可求得；
（3）分兩種情況分別討論即可得出b的取值范圍．

解答 解：（1）∵拋物線y=$\frac{1}{2}{x}^{2}$+（m-2）x+2m-6的對稱軸為直線x=1，
∴-m+2=1，
∴m=1；
（2）令y=0，
∴$\frac{1}{2}{x}^{2}$-x-4=0，解得x=-2或x=4，
∴A（-2，0），B（4，0），
令x=0，則y=-4，
∴C（0，-4）；
（3）由圖象可知：
①當直線過C（0，-4）時，b=-4，
∴b＞-4；
②當直線與拋物線只有應(yīng)該交點時，∴$\frac{1}{2}{x}^{2}$-x-4=$\frac{1}{2}$x+b，
整理得，x²-3x-8-2b=0，
∵△=9+4（8+2b）=0，
∴b=-$\frac{41}{8}$，
∴b＜-$\frac{41}{8}$，
綜上，結(jié)合圖象可知，b的取值范圍為b＞-4或b＜-$\frac{41}{8}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)的圖象與結(jié)合變換，拋物線與坐標軸的交點，主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．