【題目】如圖1,拋物線與直線(為常數(shù),)交于A,B兩點,直線交軸于點C,點A的坐標(biāo)為;
(1)若,則A點的坐標(biāo)為__________,點B的坐標(biāo)為____________
(2)已知點,拋物線與線段有兩個公共點,求的取值范圍;
(3)①如圖1,求證:
②如圖2,設(shè)拋物線的頂點為F,直線交拋物線的對稱軸于點,直線(為常數(shù),)經(jīng)過點A,并交拋物線的對稱軸于點E,若(為常數(shù))則的值是否發(fā)生變化?若不變,請求出的值;若變化,請說明理由.
【答案】(1);;(2);(3)①見解析,②P=1不變
【解析】
(1)將a=1,m=3,代入y1,y2及點A,求出y1和y2,根據(jù)函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征及函數(shù)圖象交點坐標(biāo)的求法求解即可;
(2)要使拋物線l1與線段MN有兩個公共點,需要滿足x=0時,y≤4;x=3時,y≤4,據(jù)此列不等式解出a即可;
(3)①通過A(m+2,n)代入y1,y2求得B的坐標(biāo),再過點A,點B作x軸垂線,根據(jù)平行線分線段成比例定理,通過計算得到的值即可解決問題;
②已知點E的橫坐標(biāo)為x=2,則可以代入y3求得點E的坐標(biāo)為(2,am2),過點A,點B作AG⊥FD于G,BH⊥FH于H,由①中點A,點B的坐標(biāo)可求得tan∠AED=tan∠BFD,即可得P為定值為1.
解:(1)把a=1,m=3,代入y1,y2得:,,
∵點A(m+2,n)
∴把A(1,n)代入y1得:,
即A(1,9),
將點A代入y2得:9=3(12)+b,解得:b=18,
故y2=3(x2)18,
∵y1與y2交于A、B兩點,
∴3(x2)18=(x2)2,
解得:x=1或x=8,
將x=8代入y1得,y1=(82)2=36,
故B的坐標(biāo)為(8,36),
故答案為:(1,9),(8,36);
(2)由圖象可知a<0,要使拋物線l1與線段MN有兩個公共點,
則,解得:a≤4;
(3)①將A(m+2,n)代入y1得n=am2,
同理,再將A(m+2,am2)代入y2得b=2am2,即y2=am(x2)+2am2,
令y2=0,得點C坐標(biāo)為(2m+2,0)
∵y1與y2交于
∴a(x2)2=am(x2)+2am,
可令t=x2,
又∵a≠0,
∴原方程可化為:at2=amt+2am,即t2+mt2m=0,
解得t=m或t=2m,
∴x2=m或x2=2m,
得x=m+2或x=2m+2,
將x=2m+2代入y1得y1=a(2m+22)2=4am2,
故點B的坐標(biāo)為(2m+2,4am2)
分別過點A、B作x軸的垂線AM,BN.如圖1,
∵AM⊥x軸,BN⊥x軸,
∴AM∥BN
∴,
∵CM=2m+2(m+2)=m,MN=(2m+2)(m+2)=3m,
∴,
∴AB=3AC;
②P值不變,
理由:由①知A(m+2,am2),代入y3得,am2=2am(m+22)+d,
解得d=am2,
則y3=2am(x2)am2,
∵y3與對稱軸x=2交于點E,
∴點E的縱坐標(biāo)為y3=2am(22)am2=am2,
∴點E的坐標(biāo)為(2,am2),
如圖2,過點A,點B作AG⊥FD于G,BH⊥FH于H,
∵點B坐標(biāo)為(2m+2,4am2),
∴BH=|2m+22|=|2m|,FH=|4am2|,AG=|m+22|=|m|,EG=|am2am2|=|2am2|,
∴tan∠AED=,tan∠BFD=,
∴tan∠AED=tan∠BFD
∴p=1不變.
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【題目】綜合與實踐:
動手操作:如圖1,四邊形是一張矩形紙片,,點分別在邊上,且,連接,將分別沿折疊,點分別落在點處.
探究展示:(1)“刻苦小組”發(fā)現(xiàn):,且,并展示了如下的證明過程.
證明:在矩形中,,,
又∵,
∴,
∴,,
∵,
∴(依據(jù)1)
∴,
∴(依據(jù)2)
反思交流:①上述證明過程中的“依據(jù)1”與“依據(jù)2”分別指什么?
②“勤奮小組”認為:還可以通過證明四邊形是平行四邊形獲證,請你根據(jù)“勤奮小組”的證明思路寫出證明過程.
猜想證明:(2)如圖2,折疊過程中,當(dāng)點在直線的同側(cè)時,延長交于點,延長交于點中,則四邊形是什么特殊四邊形?請說明理由.
聯(lián)想拓廣:(3)如圖3,連接,
①當(dāng)時,的長為_____________________;
②的長有最小值嗎?若有,請你直接寫出的最小值;若沒有,請說明理由.
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【題目】如圖,在矩形中,,是邊上一點,,是直線上一動點,將沿直線折疊,點的對應(yīng)點為,當(dāng)點三點在一條直線上時,的長度為_________.
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【題目】如圖,是的直徑,弦于點,過點作的切線交的延長線于點.
(1)已知,求的大。ㄓ煤的式子表示);
(2)取的中點,連接,請補全圖形;若,,求的半徑.
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【題目】如圖是一個桌面會議話筒示意圖,中間BC部分是一段可彎曲的軟管,在彎曲時可形成一段圓弧,設(shè)圓弧所在圓的圓心為O,線段AB,CD均與圓弧相切,點B,C分別為切點,已知AB的長10 cm,CD的長為25.2 cm.
(1)如圖①,若話筒彎曲后CD與桌面AM平行,此時CD距離桌面14 cm,求弧BC的長度(結(jié)果保留π);
(2)如圖②,若話筒彎曲后弧BC所對的圓心角度數(shù)為60°,求話筒頂端D到桌面AM的距離(結(jié)果保留一位小數(shù)).(參考數(shù)據(jù):≈1.73)
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【題目】如圖,在扇形AOB中,∠AOB=90°,正方形CDEF的頂點C是的中點,點D在OB上,點E在OB的延長線上,當(dāng)正方形CDEF的邊長為2時,陰影部分的面積為________
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【題目】某超市隨機選取1000位顧客,記錄了他們購買甲、乙、丙、丁四種商品的情況,整理成如下統(tǒng)計表,其中“√”表示購買,“×”表示未購買.假定每位顧客購買商品的可能性相同.
商品 顧客人數(shù) | 甲 | 乙 | 丙 | 丁 |
100 | √ | × | √ | √ |
217 | × | √ | × | √ |
200 | √ | √ | √ | × |
300 | √ | × | √ | × |
85 | √ | × | × | × |
98 | × | √ | × | × |
(1)估計顧客同時購買乙和丙的概率為__________.
(2)如果顧客購買了甲,并且同時也在乙、丙、丁中進行了選購,則購買__________(填乙、丙、丁)商品的可能性最大.
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【題目】(2017山東省菏澤市,第20題,7分)如圖,一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)的圖象在第一象限交于A、B兩點,B點的坐標(biāo)為(3,2),連接OA、OB,過B作BD⊥y軸,垂足為D,交OA于C,若OC=CA.
(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式;
(2)求△AOB的面積.
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