【題目】如圖,已知正方形的邊長為,點(diǎn)邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接,過點(diǎn)的垂線交于點(diǎn),以為邊作正方形,頂點(diǎn)在線段上,對角線、相交于點(diǎn).(1)若,則 ;

(2)①求證:點(diǎn)一定在的外接圓上;

當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí),點(diǎn)也隨之運(yùn)動(dòng),求點(diǎn)經(jīng)過的路徑長;

(3)在點(diǎn)從點(diǎn)到點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中,的外接圓的圓心也隨之運(yùn)動(dòng),求該圓心到邊的距離的最大值.

【答案】(1);(2)①見解析;②2;(3) .

【解析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠A=∠B=∠EPG=90°,PF⊥EG,然后根據(jù)垂直的性質(zhì)和直角三角形的兩銳角互余的性質(zhì)得到∠AEP=∠BPC,再根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似證得△APE∽△BCP,最后根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例求解即可

(2)①證明A、P、O、E四點(diǎn)共圓,即可得出結(jié)論;

②連接OA、AC,由勾股定理得到AC的長,由圓周角定理得出∠OAP=∠OEP=45°,點(diǎn)O在AC上,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí),O為AC 的中點(diǎn),即可求解;

(3)設(shè)△APE的外接圓的圓心為M,作MN⊥ABN,由三角形中位線定理得到MN=AE,設(shè)AP=x,則BP=4-x,由(1)中的相似三角形的性質(zhì):對應(yīng)邊成比例,求出AE= x-x2=-(x-2)2+1,由二次函數(shù)的最值求出AE的最大值為1,然后可求MN的值.

(1)解:∵四邊形ABCD、四邊形PEFG是正方形,

∴∠A=∠B=∠EPG=90°,PF⊥EG,AB=BC=4,∠OEP=45°,

∴∠AEP+∠APE=90°,∠BPC+∠APE=90°,

∴∠AEP=∠BPC,

∴△APE∽△BCP,

,即,

解得:AE=

(2)①證明:∵PF⊥EG,

∴∠EOP=90°,

∴∠EOP+∠A=180°,

∴A、P、O、E四點(diǎn)共圓,

∴點(diǎn)O一定在△APE的外接圓上;

②解:連接OA、AC,如圖1所示:

∵四邊形ABCD是正方形,

∴∠B=90°,∠BAC=45°,

∴AC=,

∵A、P、O、E四點(diǎn)共圓,

∴∠OAP=∠OEP=45°,

∴點(diǎn)OAC上,

當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí),OAC的中點(diǎn),OA=AC=2,

即點(diǎn)O經(jīng)過的路徑長為2

(3)解:設(shè)△APE的外接圓的圓心為M,作MN⊥ABN,如圖2所示:

MN∥AE,

∵M(jìn)E=MP,

∴AN=PN,

∴MN=AE,

設(shè)AP=x,則BP=4-x,

由(1)得:△APE∽△BCP,

,即,

解得:AE=x-x2=-(x-2)2+1,

∴x=2時(shí),AE的最大值為1,此時(shí)MN的值最大=×1=,即△APE的圓心到AB邊的距離的最大值為.

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2

3

4

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