Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，在⊙O上取點(diǎn)D，連接CD，使得AC=CD，延長(zhǎng)CD交直線AB于點(diǎn)E．
（1）求證：CD是⊙O的切線．
（2）若AC=2

3

，AE=6．
①求⊙O的半徑．
②點(diǎn)M是優(yōu)弧

DAB

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B，D重合），求MD，MB及

BD

圍成的陰影部分面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),扇形面積的計(jì)算

專題：

分析：（1）連結(jié)OD，OC．根據(jù)SSS可證△CAO≌△CDO，得∠ODC=∠OAC=90°，則CD是⊙O的切線；    
（2）①由（1）的結(jié)論可以得到CD=CA，再依據(jù)勾股定理可以求得⊙O的半徑為2；                                               
②面積可看成兩部分，三角形DMB跟弧DB的面積，弧DB不變，三角形面積為底DB乘以高除以2，當(dāng)M運(yùn)動(dòng)到優(yōu)弧

DAB

的中點(diǎn)時(shí)，陰影部分的面積最大，可求得最大值．

解答：解：（1）連接OD，OC，
∵AC是⊙O的切線，
∴∠CAB=90°，
在△CAO和△CDO中

CA=CD CO=CO OA=OD

∴△CAO≌△CDO．
∴∠CAO=∠CDO=90°，
∴CD⊥OD，
∴CD是⊙O的切線．
（2）①∵AC=2

3

，AE=6，
∴根據(jù)勾股定理得：CE=4

3

，
又∵AC=CD，
∴DE=2

3

，
∴∠CEA=30°，
∴tan∠CEA=

OD

DE

=

3

3

，
∴OD=2．
∴⊙O的半徑為2．
②∵圖中陰影部分的面積可看成兩部分，△DMB的面積和弓形DB的面積，
∵弧DB不變，∴三角形底邊DB不變，
當(dāng)M運(yùn)動(dòng)到優(yōu)弧

DAB

的中點(diǎn)，高最大，即面積最大．
由（1）及第二問(wèn)①得：∠DOB=60°，當(dāng)M運(yùn)動(dòng)到優(yōu)弧

DAB

的中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)高經(jīng)過(guò)圓心且垂直于DB，所以高的值為2+

3

，
又△DOB是等邊三角形，∴DB=OB=2，
∴S△DBM=

1

2

×2×(2+

3

)=2+

3

，
又因?yàn)镾_弓形DB=S_扇形ODB-S_△ODB=

60×4π

360

-

3

=

2π

3

-

3

，
∴圖中陰影部分的面積為：S=S_弓形DB+S_△DBM=

2

3

π+2．

  

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了切線的判定，垂徑定理以及扇形面積的計(jì)算，解答本題要注意如何選取特殊點(diǎn)來(lái)確定圖形的面積的最大值．