Question

【題目】如圖，在中，D是BC的中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作，AF與CE的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，連接BF．

（1）求證：四邊形AFBD是平行四邊形；

（2）①若四邊形AFBD是矩形，則必須滿足條件_________；

②若四邊形AFBD是菱形，則必須滿足條件_________.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①AB=AC；②∠BAC=90°

【解析】

（1）先證明△AEF≌△DEC，得出AF=DC，再根據(jù)有一組對(duì)邊平行且相等證明四邊形AFBD是平行四邊形；

（2））①當(dāng)△ABC滿足條件AB=AC時(shí)，可得出∠BDA=90°，則四邊形AFBD是矩形；②當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，可得出AD=BD,則四邊形AFBD是菱形。

解：（1）∵E是AD中點(diǎn)

∴AE=DE，
∵AF∥BC，

∴∠AFE=∠DCE，
∵∠AEF=∠DEC，

∴△AEF≌△DEC

∴AF=DC，
∵D是BC中點(diǎn)，

∴BD=DC，

∴AF=BD，
又∵AF∥BC，即AF∥BD，

∴四邊形AFBD是平行四邊形；

（2）①當(dāng)△ABC滿足條件AB=AC時(shí)，四邊形AFBD是矩形；

理由是：

∵AB=AC，D是BC中點(diǎn)，

∴AD⊥BC,

∴ ∠BDA=90°

∵四邊形AFBD是平行四邊形,

∴四邊形AFBD是矩形.

故答案為：AB=AC

②當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，四邊形AFBD是菱形。

理由是：

∵∠BAC=90°，D是BC中點(diǎn)，

∴AD=BC=BD,

∵四邊形AFBD是平行四邊形,

∴四邊形AFBD是菱形。

故答案為：∠BAC=90°