Question

如圖，直線y=-2x+1與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，將△OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到△OCD．
（1）填空：點(diǎn)C的坐標(biāo)是

 

，點(diǎn)D的坐標(biāo)是

 

（2）設(shè)直線CD與AB交于點(diǎn)M，求線段BM的長；
（3）在y軸上是否存在點(diǎn)P，使得△BMP是等腰三角形？若存在，請求出所有滿足條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）把x=0，y=0分別代入解析式求出A、B的坐標(biāo)，即可得出C、D的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)勾股定理求出CD，證△BMC∽△DOC，得到比例式即可求出答案；
（3）有兩種情況：①以BM為腰時(shí)，滿足BP=BM的有兩個(gè)；過點(diǎn)M作ME⊥y軸于點(diǎn)E，證△BME∽△BCM，求出BE、PE，進(jìn)一步求出OP即可；②以BM為底時(shí)，作BM的垂直平分線，分別交y軸、BM于點(diǎn)P、F，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出即可．

解答：解：（1）y=-2x+1，
當(dāng)x=0時(shí)，y=1
當(dāng)y=0時(shí)，x=

1

2

，
∴A（

1

2

，0），B（0，1），
∵將△OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到△OCD，
∴OC=0A=

1

2

，OD=OB=1，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，

1

2

），點(diǎn)D的坐標(biāo)是（-1，0），

（2）由（1）可知：CD=

OD2+OC2

=

5

2

，BC=

1

2

，
又∵∠ABO=∠ADC，∠BCM=∠DCO
∴△BMC∽△DOC（有兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似），
∴

BM

DO

=

BC

DC

，
即

BM

1

=

1 2

5 2

，
∴BM=

5

5

，
答：線段BM的長是

5

5

．

（3）存在，
分兩種情況討論：
①以BM為腰時(shí)，
∵BM=

5

5

，又點(diǎn)P在y軸上，且BP=BM，
此時(shí)滿足條件的點(diǎn)P有兩個(gè)，它們是P₁（0，1+

5

5

）、P₂（0，1-

5

5

），
過點(diǎn)M作ME⊥y軸于點(diǎn)E，
∵∠BMC=90°，則△BME∽△BCM，
∴

BE

BM

=

BM

BC

，
∴BE=

BM2

BC

=，
又∵BM=PM，
∴PE=BE=

2

5

，
∴BP=

4

5

，
∴OP=1-

4

5

=

1

5

，
此時(shí)滿足條件的點(diǎn)P有一個(gè)，它是P₃（0，

1

5

），

②以BM為底時(shí)，作BM的垂直平分線，分別交y軸、BM于點(diǎn)P、F，

由（2）得∠BMC=90°，
∴PF∥CM，
∵F是BM的中點(diǎn)，
∴BP=

1

2

BC=

1

4

，
∴OP=OB-BP=1-

1

4

=

3

4

，
此時(shí)滿足條件的點(diǎn)P有一個(gè)，它是P₄（0，

3

4

），
綜上所述，符合條件的點(diǎn)P有四個(gè)，
它們是：P₁（0，1+

5

5

）、P₂（0，1-

5

5

），P₃（0，

1

5

）、P₄（0，

3

4

）．
答：存在，所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)是P₁（0，1+

5

5

）、P₂（0，1-

5

5

），P₃（0，

1

5

）、P₄（0，

3

4

）．

點(diǎn)評：本題主要考查對一次函數(shù)的綜合題，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，坐標(biāo)與圖形變換-旋轉(zhuǎn)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．