Question

【題目】如圖，BD是正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)，BC=4，邊BC在其所在的直線(xiàn)上平移，平移后得到的線(xiàn)段記為PQ，連接PA、QD，并過(guò)點(diǎn)Q作QO⊥BD，垂足為O，連接OA、OP．

（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段BC在平移過(guò)程中，四邊形APQD是什么四邊形？

（2）請(qǐng)判斷OA、OP之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并利用圖1加以證明．

（3）在平移變換過(guò)程中，設(shè)y=S△OPB，BP=x(0≤x≤4)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出y的最大值．

Answer 1

【答案】（1）平行四邊形（2）OA＝OP，OA⊥OP，理由見(jiàn)解析（3）當(dāng)P點(diǎn)在B點(diǎn)右側(cè)時(shí)，y＝（x＋2）21；當(dāng)P點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)時(shí)，y＝（x2）2＋1；當(dāng)x＝4時(shí)，y有最大值為8．

【解析】

（1）根據(jù)平移的性質(zhì)，可得PQ，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可得答案；

（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，可得PQ與AB的關(guān)系，根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，可得∠PQO，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得AO與OP的數(shù)量關(guān)系，根據(jù)余角的性質(zhì)，可得AO與OP的位置關(guān)系；

（3）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可得OE的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的面積公式，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得到答案．

（1）四邊形APQD為平行四邊形，

理由如下：

∵四邊形ABCD是正方形，

∴ADBC，

∵邊BC在其所在的直線(xiàn)上平移，平移后得到的線(xiàn)段記為PQ，

∴

∴四邊形APQD為平行四邊形；

（2）OA＝OP，OA⊥OP，理由如下：

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝BC＝PQ，∠ABO＝∠OBQ＝45°，

∵OQ⊥BD，

∴∠PQO＝45°，

∴∠ABO＝∠OBQ＝∠PQO＝45°，

∴OB＝OQ，

在△AOB和△OPQ中，

∴△AOB≌△POQ（SAS），

∴OA＝OP，∠AOB＝∠POQ，

∴∠AOP＝∠BOQ＝90°，

∴OA⊥OP；

（3）如圖，過(guò)O作OE⊥BC于E．

①如圖1，當(dāng)P點(diǎn)在B點(diǎn)右側(cè)時(shí)，

則BQ＝x＋4，OE＝，

∴y＝×x，即y＝（x＋2）21，

又∵0≤x≤4，

∴當(dāng)x＝4時(shí)，y有最大值為8；

②如圖2，當(dāng)P點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)時(shí)，

則BQ＝4x，OE＝，

∴y＝×x，即y＝（x2）2＋1，

又∵0≤x≤4，

∴當(dāng)x＝2時(shí)，y有最大值為1；

綜上所述，∴當(dāng)x＝4時(shí)，y有最大值為8．