Question

7．如圖，在Rt△PAD中，∠PAD=90°，∠APD的角平分線PO交AD于O點，以O(shè)為圓心，OA為半徑作⊙O，交AD于點B，過D作DE⊥PO交PO的延長線于點E．
（1）求證：PD是⊙O的切線；
（2）若PA=6，tan∠PDA=$\frac{3}{4}$，求半徑OA及OE的長．

Answer 1

分析 （1）作OC⊥PD于C，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出OC=OA，即可判定PD是⊙O的切線；
（2）根據(jù)已知求得AD，PC，根據(jù)勾股定理求得PD，得出CD，設(shè)半徑為x，則OD=8-x，在RT△ODC中，根據(jù)勾股定理得出（8-x）²=x²+4²，解得半徑為3，然后根據(jù)勾股定理求得OP，進(jìn)而證得△POA∽△DOE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得．

解答 （1）證明：作OC⊥PD于C，
∵OP是∠APD的角平分線，OA⊥PA，OC⊥PD，
∴OC=OA，
∴PD是⊙O的切線；
（2）解：∵PA=6，tan∠PDA=$\frac{PA}{AD}$=$\frac{3}{4}$，
∴AD=8，
∴PD=$\sqrt{P{A}^{2}+A{D}^{2}}$=10，
∵PA⊥OA，
∴PA是⊙O的切線，
∵PD是⊙O的切線，
∴PC=PA=6，
∴CD=PD-PC=4，
設(shè)半徑為x，則OD=8-x，
在RT△ODC中，OD²=OC²+CD²，
∴（8-x）²=x²+4²，
解得x=3，
∴半徑OA=3，
∴OD=8-3=5，
在RT△AOP中，OP=$\sqrt{P{A}^{2}+O{A}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∵∠PAO=∠E=90°，∠POA=∠DOE，
∴△POA∽△DOE，
∴$\frac{OE}{OA}$=$\frac{OD}{OP}$，即$\frac{OE}{3}$=$\frac{5}{3\sqrt{5}}$，
∴OE=$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了切線的判定，勾股定理的應(yīng)用以及三角形相似的判定和性質(zhì)，證明某一線段是圓的切線時，過圓心作直線的垂線，通過證明垂線段的長等于半徑判定切線．