Question

【題目】（問(wèn)題提出）在數(shù)學(xué)“共生課堂”上，某合作小組提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA＝1，PB＝2，PC＝．你能求出∠APB的度數(shù)嗎？

（問(wèn)題解決）（1）李清同學(xué)分析題目后，發(fā)現(xiàn)以PA、PB、PC的長(zhǎng)為邊的三角形是直角三角形，他找到了正確的思路：如圖2，將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BP′A．連接PP′，易得△P′PB是等邊三角形，△P′PA是直角三角形，則得∠BPP′＝_________，∠APB＝_________．

（問(wèn)題類比）（2）同組的祁響同學(xué)突然想起曾經(jīng)解決過(guò)的一個(gè)問(wèn)題：如圖3，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，PA=1，PB=2，PC=3．求∠APB的度數(shù)．請(qǐng)你寫出解答過(guò)程．

（問(wèn)題延伸）（3）夏老師留了一個(gè)思考題：如圖4，若點(diǎn)P是正方形ABCD外一點(diǎn)，PA=，PB=1，PC=．則∠APB的度數(shù)．請(qǐng)你寫出解答過(guò)程．

Answer 1

【答案】（1）60°，150°；（2）∠APB＝135°，見(jiàn)解析；（3）∠APB＝45°，見(jiàn)解析

【解析】

（1）將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BP′A，連接PP′，則有，，，，可得是等邊三角形，則有，，可證是直角三角形，利用可得答案．

（2）將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△，連接，則，，，，可得，根據(jù)勾股定理得，，可以證得，即是直角三角形，且，

利用可得答案．

（3）將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△，連接，則，，，，，根據(jù)勾股定理得，，可證得，即是直角三角形，且，

利用可得答案．

解：（1）將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BP′A，連接PP′，

則有，，，，

∴是等邊三角形，

∴，，

∴

∴是直角三角形，

∴，

∴；

（2）如圖示，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△，連接，

則，，，

，

根據(jù)勾股定理得，，

，

，

又，

，

是直角三角形，且，

．

（3）如圖示，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△，連接．

則，，，

，

根據(jù)勾股定理得，，

，

，

又，

，

是直角三角形，且，

．