Question

7．已知菱形ABCD的兩條對(duì)角線分別為5和12，M、N分別是邊BC、CD的中點(diǎn)，P是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，則PM+PN的最小值=6.5．

Answer 1

分析 作M關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)Q，連接NQ，交BD于P，連接MP，此時(shí)MP+NP的值最小，連接AC，求出CP、BP，根據(jù)勾股定理求出BC長(zhǎng)，證出MP+NP=QN=BC，即可得出答案．

解答 解：作M關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)Q，連接NQ，交BD于P，連接MP、AC．

∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP，即Q在AB上．
∵M(jìn)Q⊥BD，
∴AC∥MQ．
∵M(jìn)為BC中點(diǎn)，
∴Q為AB中點(diǎn)．
∵N為CD中點(diǎn)，四邊形ABCD是菱形，
∴BQ∥CD，BQ=CN．
∴四邊形BQNC是平行四邊形．
∴NQ=BC．
∵四邊形ABCD是菱形，
∴CP=$\frac{1}{2}$AC=2.5，BP=$\frac{1}{2}$BD=6．
在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC=$\sqrt{B{P}^{2}+P{C}^{2}}$=6.5，即NQ=6.5，
∴MP+NP=QP+NP=QN=6.5．
故答案為：6.5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問題，平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能根據(jù)軸對(duì)稱找出P的位置．