Question

已知直線y=kx+b分別與y軸、x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與二次函數(shù)y=x²-mx+3的圖象交于A、C兩點(diǎn)．
（1）當(dāng)點(diǎn)C坐標(biāo)為（-

11

2

，

57

8

）時(shí)，求直線AB的解析式；
（2）在（1）中，如圖，將△ABO沿y軸翻折180°，若點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在二次函數(shù)y=x²-mx+3的圖象上，求點(diǎn)D到直線AB的距離；
（3）當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，二次函數(shù)y=x²-mx+3有最小值-3，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：壓軸題

分析：（1）令x=0求出y的值得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；
（2）令y=0求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后根據(jù)∠ABO的正弦值列式計(jì)算即可得解；
（3）表示出拋物線的對(duì)稱(chēng)軸，然后根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸的位置，分別根據(jù)二次函數(shù)的增減性和最值問(wèn)題列式計(jì)算即可得解．

解答：解：（1）令x=0則y=3，
∴點(diǎn)A（0，3），
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），
則

b=3 - 11 2 k+b= 57 8

，
解得

k=- 3 4 b=3

，
∴直線AB的解析式為y=-

3

4

x+3；

（2）令y=0，則-

3

4

x+3=0，
解得x=4，
∴點(diǎn)B（4，0），
點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-4，0），
∴BD=4-（-4）=4+4=8，
由勾股定理得，AB=

OA2+OB2

=

32+42

=5，
設(shè)點(diǎn)D到直線AB的距離為h，
則sin∠ABO=

h

BD

=

OA

AB

，
即

h

8

=

3

5

，
解得h=4.8，
即點(diǎn)D到直線AB的距離是4.8；

（3）對(duì)稱(chēng)軸為直線x=

m

2

，
當(dāng)

m

2

≤-1，即m≤-2時(shí)，x=-1時(shí)二次函數(shù)的最小值為-3，
（-1）²-m•（-1）+3=-3，
解得m=-7；
當(dāng)-1＜

m

2

＜1，即-2＜m＜2時(shí)，x=

m

2

時(shí)二次函數(shù)有最小值為-3，

4×1×3-m2

4×1

=-3，
解得m=±2

6

，都不滿足-2＜m＜2，舍去；
當(dāng)

m

2

≥1即m≥2時(shí)，x=1時(shí)二次函數(shù)的最小值為-3，
1²-m•1+3=-3，
解得m=7，
綜上所述，實(shí)數(shù)m的值為7或-7．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，翻折的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的最值問(wèn)題，難點(diǎn)在于（3）根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸的位置情況分情況討論．