Question

已知拋物線y=-x²+2x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，在拋物線上共有三個(gè)點(diǎn)到BC的距離為m，求m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn)

專題：

分析：先求得拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，然后求得直線BC的解析式，根據(jù)平移的性質(zhì)寫出直線平移后的方程，則第三個(gè)點(diǎn)一定是直線MN與拋物線的唯一公共點(diǎn)，聯(lián)立拋物線的方程，使判別式等于0，即可得出b的平移后的直線方程，作CP⊥MN于P，即可得出m的值．

解答：解：∵拋物線y=-x²+2x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，
令y=0，則0=-x²+2x+3，解得：x=3，或x=-1，
∴A（-1，0），B（3，0）、C（0，3），
∴直線BC：y=-x+3，將直線BC向上平移b個(gè)單位得直線MN：y=-x+3+b，
則第三個(gè)點(diǎn)一定是直線MN與拋物線的唯一公共點(diǎn)，
聯(lián)立

y=-x+3+b y=-x2+2x+3

，
消去y得：x²-3x+b=0，
由△=0
得到b=

9

4

，
作CP⊥MN于P，則∠CMN=∠OCB=45°，
CM=

9

4

，
∴m=CP=

9 2

8

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了拋物與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、直線平行的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及解直角三角形等重要知識(shí)點(diǎn)本題的難點(diǎn)在于考慮問(wèn)題要全面，讀懂題意．