Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線l₁：y=-

1

2

x+6分別與x軸、y軸交于點B、C，且與直線l₂：y=

1

2

x交于點A．

（1）分別求出點A、B、C的坐標；
（2）若D是線段OA上的點，且△COD的面積為12，求直線CD的函數(shù)表達式；
（3）在（2）的條件下，設(shè)P是x軸上的點，使得P到點A、D的距離和最小；求點P的坐標．

Answer 1

考點：兩條直線相交或平行問題,軸對稱-最短路線問題

專題：計算題

分析：（1）根據(jù)兩直線相交的問題解方程組

y=- 1 2 x+6 y= 1 2 x

即可得到A點坐標為（6，3）；再利用坐標軸上點的坐標特征可確定B點坐標為（12，0），C點坐標為（0，6）；
（2）設(shè)D點坐標為（t，

1

2

t），根據(jù)三角形面積公式得到

1

2

•6•

1

2

t=12，解得t=8，則D點坐標為（8，4），然后利用待定系數(shù)法求直線CD的解析式；
（3）作點A關(guān)于x軸的對稱點E，連接DE交x軸于P點，利用對稱得到PA=PE，則PA+PD=PE+PD=DE，根據(jù)兩點之間線段最短得此時點P點A、D的距離和最小，
再利用待定系數(shù)法求出直線DE的解析式，然后利用x軸上點的坐標特征可確定P點坐標．

解答：解：（1）解方程組

y=- 1 2 x+6 y= 1 2 x

得

x=6 y=3

，則A點坐標為（6，3）；
把y=0代入y=-

1

2

x+6得-

1

2

x+6=0，解得x=12，則B點坐標為（12，0）；
把x=0代入y=-

1

2

x+6得y=6，則C點坐標為（，6）；
（2）設(shè)D點坐標為（t，

1

2

t），
則

1

2

•6•

1

2

t=12，解得t=8，
所以D點坐標為（8，4），
設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b，
把C（0，6）、D（8，4）代入得

b=6 8k+b=4

，解得

k=- 1 4 b=6

，
所以直線CD的解析式為y=-

1

4

x+6；
（3）作點A關(guān)于x軸的對稱點E，連接DE交x軸于P點，
∵點A與點E關(guān)于x軸對稱，
∴PA=PE，
∴PA+PD=PE+PD=DE，
∴此時點P點A、D的距離和最小，
∵點A（6，4），
∴點E的坐標為（6，-4），
設(shè)直線DE的解析式為y=mx+n，
把D（8，4）、E（6，-4）代入得

8m+n=4 6m+n=-4

，解得

m=4 n=-28

，
∴直線DE的解析式為y=4x-28，
把y=0代入得4x-28=0，解得x=7，
∴P點坐標為（7，0）．

點評：本題考查了兩直線相交或平行的問題：兩條直線的交點坐標，就是由這兩條直線相對應(yīng)的一次函數(shù)表達式所組成的二元一次方程組的解；若兩條直線是平行的關(guān)系，那么他們的自變量系數(shù)相同，即k值相同．